Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.
Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, поэтому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.
Целью работы является анализ школьных учебников по алгебре и началам математического анализа для освоения материала, и успешной сдачи ЕГЭ.
При изучении любой новой темы в курсе школы возникает проблема изложения данной темы в школьных учебниках.
Проанализируем, в каких классах вводится данное понятие разными авторами учебников. Никольский С.М. в учебнике «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» рассматривает тему решение задач с параметрами пунктом для классов с профильным изучением предмета. Разделяет понятия уравнения с параметром, неравенства и системы с одним параметром. Мордкович А.Г. дает общее представление о том, как решать задачи с параметрами и рассматривает ряд примеров в учебнике «Алгебра и начала математического анализа 11 класс». Ю.М. Колягин в учебнике «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» рассматривает уравнения и неравенства с двумя переменными, содержащие параметры. Приводит примеры их решения в общем виде.Тема изучается в главе уравнения и неравенства с двумя переменными.
«Алгебра и начала математического анализа, 11 класс»: С.М. Никольский
В параграфе учебника рассматриваются задачи с параметрами. В первом пункте параграфа изучается основной принцип решения уравнений содержащих параметр – разбиение области изменения параметра на участки. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значение параметра. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней уравнения.
После подробно разобранных уравнений с параметром приводятся задания, которые необходимо решить и найти для каждого значения параметра. Автор подчеркивает, что сложность задач с параметром заключается в том, что, как правило, вместе с изменением параметра меняются не только коэффициенты, но и ряд других характеристик, связанных с параметром. Это приводит к тому, что при разных значениях параметра приходится использовать различные методы решения.
Во втором пункте рассматриваются решения неравенств с параметром. Вводится понятие, что значит решить неравенство с параметром и указывается, что при решении используются те же методы как и при решении уравнений с параметром.
Далее даны задания для самостоятельного решения и отработки навыков решения неравенств с параметром.
Системы уравнений с параметром рассмотрены в третьем пункте 15 параграфа. Предлагаются задания, как с подробным решением, так и для самостоятельной работы в которых необходимо для каждого значения параметра решить систему уравнений.
В четвертом пункте рассматриваются задачи, в которых требуются найти все значения параметра, при каждом из которых выполнено некоторое условие. Приводятся 6 примеров с подробным решением и 16 задач с различными условиями для отработки навыка решения задач с условием.
«Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс»: А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.
Сначала параметр встречается при изучении арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса. Рассматривается решение этих уравнений в общем виде, и в зависимости от значения параметрарассматриваются частные случаи, причем ставится ограничение на множество значений переменной. Следующие задачи, содержащие параметр, предлагаются при изучении производной функции.
Особое геометрическое и алгебраическое значение имеют задачи с параметром, которые предложены в главе «Первообразная и интеграл». В конце изучения курса алгебры и начала анализа в 11 классе выделен параграф для решения уравнений, содержащих параметр. В параграфе объясняется, что такое параметр на простейших уравнениях, рассматриваются линейные и квадратные уравнения. Пункт начинается с определения уравнение с параметром. Далее рассматривается задание, в котором надо решить относительно одой переменной уравнения и неравенство. В уравнение рассматриваются случаи обращения коэффициента в нуль, а при решении неравенства необходимо еще учесть знак коэффициента при переменной. Рассматривается решение квадратного и иррационального уравнения с параметром. При решении уравнений используется графический метод представления результатов измерений.
Система задач во второй части учебного пособия рассматриваются линейные, квадратные, логарифмические, иррациональные, показательные, тригонометрические уравнения и неравенства. В упражнениях повышенной трудности приведены системы уравнений с параметром.
«Алгебра и начала математического анализа 11 класс». Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.
Данное учебное пособие рассматривает тему решение задач с параметрами в параграфе «Уравнения и неравенства с двумя переменными, содержащие параметры». В первом пункте параграфа разбираются квадратные уравнения с параметром.
Проанализировав вышеизложенные учебные пособия по алгебре и началам математического анализа для подготовки к ЕГЭ, можно заявить, что все три учебника предлагают подробное изучение материала, а именно предлагает параметр как для углубленного изучения пройденных тем, как для изучения непосредственно самого параметра.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 464 с.: ил.
2. А. Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа, 10 – 11 класс. Часть 1./А.Г.Мордкович. – Москва: Просвещение, 2009.
3. Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа 11 класс/[Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М. И. Шабунин]. – Москва: Просвещение, 2016.