X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

 

ЗАДАЧА1. Для функции f(x)(2x+1)(х-2)^2/3найти локальный экстремум.

РЕШЕНИЕ:

Для выполнения задания воспользуемся программным продуктом MATHCAD.

1.Область определения функции: xR.

2. Найдем производную первого порядка.

Для этого, работая мышью и нажимая левую кнопку, активизировать VIEW в верхней строке меню, вызвать на экран математическую палитру (щелкнуть мышью по "Math Palette").Из появившегося окна математической палитры вызвать "Calculus Palette" и на ней выбрать . Ввести функцию

f(x): (2x+1)[(х-2)²]^1/3

Из окна "Calculus Palette" вызвать панель ввода производной. Для этого щелкнуть мышью по .

Указать функцию от которой вы хотите взять производную .

Из окна математической палитры вызвать "Evaluaition and Boolean Palette" и на ней выбрать логическую операцию "Symbolically Ctrl. +", обозначенную символом "" , найти производную. На этом шаге появится ответ

.

3. Найдем критические точки х_кр. функции из условий: f (x)0 либо f (x) не существует.

Oбозначим производную f (x) за новую функцию f1(x):

, затем

и построим график функции f1(x). Для этого образуем диапазон изменения аргумента с переменным шагом (выбрав а и в -пределы изменения аргумента при построении графика функции, произвольным образом):

,

к :=10n,

х:=а,а+х,…,в.

Затем из окна "Calculus Palette" выберем "Graph Palette", а на ней "XY Plot ". На экране появится область для построения графика. На вертикальной оси, на место обозначенное "" ввести функцию f1(x). На горизонтальной оси, на место обозначенное "" ввести переменную х. На горизонтальной оси указать так же границы изменения переменной х. Щелкнуть мышкой вне области построения графика. На этом шаге появится рисунок. Из графика функции f1(x) видно, что функция терпит разрыв в одной точке и в одной точке обращается в ноль. Эти точки и будут являться критическими точками исходной функции f (х). Для нахождения точного значения корня уравнения f1(x)=0 вве-дем начальное приближение корня х:= 0

На верхней панели выберем палитру "Insert Function", щелкнув по ней мышкой, выберем функцию root(f1(),), указав перемен-ную и введя арифметическую операцию равно ''=", на этом шаге появится ответ:

root(f1(х),х) =1.

Итак, х_кр1=1 эта точка принадлежит области определения функции.

f (x) не существует, когда знаменатель функции обращается в ноль, в данном случае х_кр2 = 2. Эта точка так же принадлежит области определения исходной функции.

4. Исследуем знак производной слева и справа от критичес-ких точек.

Для этого вычислим значение производной функции при любом значении аргумента слева и справа от критических точек

f1(0)=0, f1(1.5)=0,f1(3)=0.

Таблица 3.1

Схематическое изображение достаточного условия экстремума

х(-;1)	хкр1=1	х (1;2)	хкр1=2	х(2;)
f(x) 0	f(x)=0	f(x) 0	f(x)не сущ	f(x) 0
f(x)-возраст	max	f(x)-убыв.	min	f(x)-возраст

Найдем значения maxи minисходной функции

f_max(1)=3, f_min(2)=0

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисле-ния. (для втузов) т. 1., М., 1978.

2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. т.1., М., Высшая школа, 1970.

3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа., М., Наука, 1967.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М., Высшая математика. Диф-ференциальное и интегральное исчисления. М., Наука, 1980.

5. MATCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде WINDOWS 95. / Перевод с анг. – М.: Инфор-мационно-издательский дом “Филин”, 1996. – 712 с.”

Код для цитирования: Скопировать