Широкое применение линейной аппроксимации обусловлено возможностью разложения любой гладкой функции в ряд Тейлора. При этом такое разложение имеет хорошую точность в некотором интервале значений аргумента. Основная идея МНК заключается в минимизации сумы квадратов отклонений значений, которые рассчитаны при определённых параметрах а для заданной функциональной зависимостиf(x,a),от соответствующих наблюдаемых значений:
Поэтому все параметры ajфункции f(x,a) определяются из условия минимума функции нескольких аргументов, т.е. из системы уравнений:
Частный случай полиномиальной аппроксимации имеет вид:
В результате преобразований получаем систему уравнений МНК:
которая в развернутом виде выглядит следующим образом:
Таким образом, задача аппроксимации, например, экспериментальной зависимости полиномом m-ой степени сводится к решению системы неоднородных линейных алгебраических уравнений с m+1 неизвестными коэффициентами полинома.
Даны результаты экспериментальных замеров зависимости между двумя величинами:
Таблица 1 Зависимость вязкости нефти от температуры (р=0,3 мПа) |
||||||||||
Вязкость, мПас |
80 |
55 |
40 |
35 |
20 |
25 |
20 |
16 |
13 |
10 |
Температура,°С |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
100 |
120 |
140 |
Требуется:
Аппроксимировать данную зависимость функциями
Оценить погрешность каждого вида аппроксимации.
Построить графики экспериментальной и теоретических функций.
Провести анализ полученных результатов.
В случае нелинейной зависимости параметров функции аппроксимации выполнить линеаризацию исходной функции относительно ее параметров.Оценку погрешности каждого вида аппроксимации выполнить стандартным методом вычисления средней относительной погрешности отклонения экспериментальных и теоретических (соответствующих значений аппроксимирующей функции).
Для функции:
(1)
Для функции (1) система будет иметь следующий вид:
Задача свелась к нахождению коэффициентов , значение которых получим решив систему Решение данной системы реализовано в пакете Maple 17, получены следующие значения для коэффициентов а, b, c:
Таким образом функция (1) имеет вид:
Далее получим таблицу теоретических значений вязкости при данных коэффициентах:
Таблица 2 Зависимость вязкости нефти от температуры. Теоретические значения вязкости, полученные при аппроксимации функции (1) (р=0,3 мПа)
Вязкость, мПа×с |
80 |
55 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
16 |
13 |
10 |
Теор. вязкость, мПа×с |
70,66 |
57,95 |
46,71 |
36,94 |
28,64 |
21,80 |
16,44 |
10,11 |
9,66 |
15,09 |
Температура,°С |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
100 |
120 |
140 |
Выполним оценку погрешности аппроксимации:
Подставляя полученные значения получаем:
Таблица 3. Погрешность расчета для функции (1)
0,13 |
0,05 |
0,14 |
0,05 |
0,05 |
0,15 |
0,22 |
0,58 |
0,35 |
0,34 |
|
Общая погрешность |
20% |
Рис. 1. Графическая интерпретация аппроксимации функции (1) по табличным данным |
Для функции:
(2)
Проведем линеаризацию функции путем логарифмирования:
Проведем замену логарифмических функции и составим новую таблицу значений, соответствующих данным заменам:
где
Для данной задачи роль Y выполняет вязкость нефти. Новая таблица значений имеет вид:
Таблица 4. Новые значения коэффициента вязкости для уравнения (2.2)
Вязкость, мПас |
80 |
55 |
40 |
35 |
20 |
25 |
20 |
16 |
13 |
10 |
Прологарифмир.коэффициент вязк. |
4,38 |
4 |
3,69 |
3,56 |
3,21 |
3,22 |
3,21 |
2,77 |
2,56 |
2,03 |
Проведя все необходимые замены, получаем систему, как следствие из метода наименьших квадратов:
Задача свелась к нахождению коэффициентов , значение которых получим решив систему, причем необходимо перейти от логарифмической формы коэффициента А к начальной.
Решая данную систему в пакете Maple 17 получены следующие значения для коэффициентов A, b, c:
Учитывая, что , получим a:
Таким образом функция (2) имеет вид:
Далее получим таблицу так называемых теоретических значений вязкости при данных коэффициентах:
Таблица 5 Зависимость вязкости нефти от температуры. Теоретические значения вязкости, полученные при аппроксимации функции (2) (р=0,3 мПа)
Вязкость, мПа×с |
80 |
55 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
16 |
13 |
10 |
Теор. вязкость, мПа×с |
75,77 |
54,13 |
41,97 |
34,04 |
28,40 |
24,17 |
20,87 |
16,03 |
12,68 |
10,22 |
Температура, °С |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
100 |
120 |
140 |
Выполним оценку погрешности аппроксимации:
Подставляя полученные значения получаем:
Таблица 6 Погрешность расчета для функции (2)
0,06 |
0,02 |
0,05 |
0,03 |
0,06 |
0,03 |
0,04 |
0,00 |
0,03 |
0,02 |
|
Погрешность |
3% |
Рис. 2. Графическая интерпретация аппроксимации функции (2) по табличным данным |
Для функции
(3)
Проведем линеаризацию функции и составим новую таблицу значений, соответствующую данной замене:
где.
Таблица 7. Новые значения аргумента уравнения
Температура |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
100 |
120 |
140 |
Заменяющие значения |
4,47 |
5,48 |
6,32 |
7,07 |
7,75 |
8,37 |
8,94 |
10 |
10,95 |
11,83 |
Выполнив все необходимые замены, получаем систему, как следствие из метода наименьших квадратов:
Задача свелась к нахождению коэффициентов , значение которых получим решив систему
Решая данную систему в пакете Maple 17 получены следующие значения для коэффициентов a, b, c:
Таким образом функция (3) имеет вид:
Далее получим таблицу теоретических значений вязкости при данных коэффициентах:
Таблица 8. Зависимость вязкости нефти от температуры. Теоретические значения вязкости, полученные при аппроксимации функции (3) (р=0,3 мПа)
Вязкость, мПа×с |
80 |
55 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
16 |
13 |
10 |
Теор. вязкость, мПа×с |
75,62 |
56,54 |
42,97 |
32,92 |
25,37 |
19,71 |
15,54 |
10,70 |
9,39 |
10,76 |
Температура, °С |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
100 |
120 |
140 |
Выполним оценку погрешности аппроксимации:
Подставляя полученные значения получаем:
Таблица 9 Погрешность расчета для функции (3)
0,06 |
0,03 |
0,07 |
0,06 |
0,18 |
0,27 |
0,29 |
0,50 |
0,38 |
0,07 |
|
Погрешность |
19,06% |
Рис. 3. Графическая интерпретация аппроксимации функции (3) по табличным данным |
Вывод: выполнив аппроксимацию функций для данной табличной зависимости (экспериментальные данные) по МНК, видим что функция
с погрешностью наиболее приближенно отражает данную зависимость.
Рис. 4. Интерпретация аппроксимации функций (1), (2) и (3) и экспериментальные точки |
Листинги программ для МНК в среде Maple17:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>