X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Математика является Королевой наук, наиболее популярной и наиболее часто используемой человечеством в его развитии, это наука о количественных отношениях и пространственных формах; термин " математика "происходит от греческого слова" математика", означающего" знание"," наука", возникшая в древние времена из практических потребностей людей. Во-первых, есть необходимость рассчитать запасы продовольствия, прошедшее время и рассчитать посевные площади. С появлением цивилизации пришли техники проектирования и анализа построенных объектов.

С древних времен математика используется в создании инструментов и оборудования. Крепость Сиракузы защищал долгое время благодаря изобретениям великого математика и механика Архимеда. Сегодня без математики немыслимо не только создание оружия, но и запуски космических аппаратов и моделирование новейших технологий.

Изучение законов общества и экономики также невозможно без математики. Подтверждением этому может служить тот факт, что с использованием математических методов связана работа практически всех экономистов ХХ века, удостоенных Нобелевской премии по экономике (Леонида Канторовича, в. Леонтьева, П. Самуэльсона, р. Солоу, Д. Хикса, Д. Нэша, р. Селтена). Любой процесс или явление экономики, социальных наук или другой области знаний-одни ценности сохраняют свои ценности, а другие принимают разные значения.

Математические теории, или модели, не являются универсальными. Например, некоторые из них являются строго описательными, в то время как другие служат основой для прогнозов и т. д. например, так называемая теория доминирования является инструментом описания. Это математическое описание взаимодействующей группы индивидов, связанной вместе в такой взаимосвязи, в которой каждая из возможных пар, взаимодействующих между собой, обладает властью над другой (или доминирует над ней, или управляет ею, или выражает свое превосходство как нечто другое). Одна из разновидностей этой теории-теория конкуренции, при которой каждый противостоит каждому в одиночку, и ни один боевое искусство не может перейти в Союз. Это взаимодействие, хотя и кажется простым! на самом деле это очень сложная общественная организация. Если речь идет, скажем, только о восьми индивидуумах, то число возможных моделей доминирования равно 268 миллионам. Десять особей дают больше 35x1012 разных шаблонов. В настоящее время существует ряд эффективных описательных теорем относительно структур доминирования, однако, знания, на основе которых можно было бы строить прогнозы, они практически не дают. В отличие от этих теорем теории мобильности (о которой мы поговорим ниже) приведем прогноз будущих событий.

Еще одной осью, на которой расположена математическая теория, является ось "детерминизм-шанс". В соответствии с различными детерминированными теориями поведение отдельных элементов полностью регулируется математическими законами.

Например, положение в пространстве, скорость и ускорение тела, испытывающего свободное падение в вакууме, можно точно рассчитать на основе определения соответствующих законов. Разработана детерминированная теория в социальных науках, где они являются объяснением такого явления как последствия законы родства и обращения денег и др. К сожалению, эти теории редко подвергаются эмпирической проверке.

Цель вероятностных теорий, напротив, заключается не в определении индивидуального поведения, а в описании совокупного поведения отдельных элементов. Поведение каждого элемента определяется такими теориями до уровня вероятности события.

Теоретическая часть

До сих пор социологи традиционно были далеки от математики. Этот факт красноречиво описал в недавней статье доктора Сибли Элбридж "образование американских социологов" (;"образование Тбе социологов в США").

Аспиранты обычно говорят о хи - квадрате е, корреляциях и некоторых других формульных методах статистического анализа, и лишь изредка — о более фундаментальных математических принципах. Несмотря на недостаток математики — можно даже сказать, в ее осквернении —в традиционных программах PhD, некоторые социологи начинают открывать ее как потенциальную теорию языка.

Их привлекает надежда, возможно, даже обещание, которое сулит математику для совершенствования социологической теории (так же, как математическая статистика способствует качественному развитию социальных исследований). Математика-это язык, который богат, но не неоднозначен, скуп, но логичен. Для некоторых это идеальная, поистине единственная по-настоящему эффективная теория языка.

Современный разговорный язык, даже обильно пронизанный социологическим жаргоном, страдает в этом отношении (то есть, как инструмент теории) серьезными недостатками. Где математика однозначна, и она дала плодотворные результаты через дедуктивный анализ. сравнения и метафоры в естественном языке создают бесчисленное множество ложных значений и логических ловушек. Он " Iranica natural language, его способность передавать малейшие оттенки delaut его использование в качестве инструмента науки чрезвычайно проблематично.

Возможности математического анализа в физических науках не подлежат сомнению. С помощью математики можно только точно описать и предсказать такие физические явления, как движение маятника, движение тела в свободном падении, даже движение звездных систем.

Поведение человека потенциально намного сложнее, чем самые сложные физические системы. Может даже быть, что описание поведения человека выходит за рамки возможностей математики. Ну а сторонники математической теории в социологии не отрицают неизбежного факта человеческой сложности. Скорее, начиная с этого факта, они предлагают конкретную стратегию, которая обеспечит научное знание о поведении человека.

Эта стратегия заключается в изучении прежде всего простейших форм социального поведения, а более сложные аспекты должны стать предметом ПА гораздо более поздних этапов. Быстрого возвращения математического анализа обещания, изучение простейших форм социального поведения, такие как игры, выбор альтернатив, мобильность.

Это воздействие предусмотрено в виде последовательных, хотя и довольно простых теорий социального поведения; на основе этих теорий можно делать соответствующие предсказания, которые в свою очередь можно проверить на основе конкретных данных.

Отметим, что в физике основой вероятностных теорий является статистическая механика. Ряд математических методов, используемых в этих исследованиях, черезчур широк, и несмотря на это, многие модели достаточно просты, чтобы они могли изучать людей, которые имеют не более чем средние математические навыки.

Чтобы показать возможности и пределы применения социальной теории математики, я хочу кратко упомянуть феномен социальной мобильности.

Социологов издавна занимали различные аспекты этого явления, такие как статусная мобильность, прохождение через семейный цикл, миграция. Таких аспектов много, каждый имеет глубокое эмоциональное содержание. Тем не менее, это явление поддается математической абстракции и описанию с точки зрения формальной социальной теории.

В социальных науках они занимают гораздо большее пространство, чем детерминированная теория. Отчасти это вопрос индивидуального выбора, однако, с другой стороны, это соотношение между двумя видами теорий отражает взгляды на природу Вселенной и восприятие ее лица, выраженное древним. В настоящее время теоретики склонны соглашаться, что социальное поведение определяется в первую очередь законами, которые по своей сути вероятностные или детерминированные законы (если они существуют) настолько бесконечно сложны и многогранны, что анализировать их является безнадежной причиной.

Наконец, рассмотрим это измерение как время. Не то, что кажется смешным, когда время будет иметь такой же статус аналитической переменной, как масса, давление, плотность. Время для них-в лучшем случае вспомогательная переменная, в конечном счете отменяется формальная теория.

Для других исследователей переменная времени полная, которая должна быть формализована и полностью учитывать любую теорию, которая утверждает, что она предсказательна. Как вопрос детерминизма, эта актуальная проблема уходит корнями в философию науки. Представители формальной социальной теории встречаются в обоих лагерях. Некоторые социологические теории полностью игнорируют временное измерение, в других он играет центральную роль.

Например, многие модели взаимодействия, такие как теория доминирования, не учитывают время как переменную; однако модели, скажем, мобильности или денежного обращения обычно считают, что это одна из основных переменных.

Практическая часть

Сейчас существует множество различных видов задач, которые изучаются с помощью математического анализа. Процессы взаимодействия и мобильности, формирование коалиций, экономические закономерности-это лишь некоторые из уже построенных социологических явлений, математических моделей. Судя по произведениям, появившимся за последнее десятилетие, математика была применена в социологии чрезвычайно широко.

Назовем лишь некоторые из этих работ: "Введение в математическую социологию" Джеймс С. Коулман ("Введение в математическую социологию"), "математические модели в социальных науках" Джона Кемени и Снелла Лоури ("математические модели в социальных науках"), "формальные теории массового поведения", Уильям Макфи ("формальные теории массового поведения").

Аппарат, необходимый для построения математической теории – например, социальной мобильности, поистине прост. Другое дело — способ его применения. Теоретический подход, который я сейчас кратко обрисую, обладает прогностическим, вероятностным и временным характером. Необходимый для него аппарат включает в себя, во-первых, заранее обусловленный контингент элементов (обычно это специфическая человеческая популяция) и набор классов, или категорий, которые ученый, стоящий на позициях теории вероятности, назвал бы «состояниями природы».

Эти состояния таковы, что в определенный момент времени каждый элемент населения может находиться в одном и только одном из них. Эти государства и, во-вторых, могут также отражать социальный статус, географическое положение, положение в семейном цикле и любую другую классификацию населения, в рамках которой элементы могут перемещаться во времени из одного государства в другое. Таким образом, при таком подходе нам также нужна единица времени, которая может быть, например, календарным годом.

Наконец, нам нужны два математических инструмента: вектор или упорядоченное множество T целых чисел (где t-количество состояний природы) и матрица T2 чисел, расположенных в t строках и t столбцах. Вектор показывает, какая доля населения в каждой из т государства во время T. Строки квадратной матрицы п(т) показывают расположение групп населения в момент времени t—1, а столбцы в момент И.

Это метод перевода на математический язык и на Порядковый номер матриц такой сложной социальной авлии, < ø подвижности. Действительно, сущность человеческих эмоций и нюансы мотивов в данном случае утрачены, однако компенсация за такую утрату очень существенна. Использование математического анализа для определения будущих эффектов альтернативных систем мобильности может дать такие результаты, которые получены другими, менее формальными методами анализа абсолютно невозможны.

Описанный аппарат достаточно прост. Другое дело — возможные математические подходы, спектр которых очень широк и которые отличаются друг от друга набором упрощающих предположений о поведении системы "мобильность".

В соответствии с правилами адекватности процедур следует первым изучить наиболее простые подходы. Такая стратегия последовала группе ученых Карельского университета, когда десять-пятнадцать лет назад она начала изучать мобильность рабочей силы США-точнее, изучение DV; jhhh рабочих из одного сектора промышленности (например, стали) в другой (например, угледобычи) .

Прежде всего, исследователи приняли два упрощающих предположения, которые вместе составляют то, что называется вероятностной моделью, основанной на Марковских цепях. В соответствии с первым предположением, вероятность подвижности, скажем, сталелитейной промышленности в угле остается неизменной. Это предположение, по крайней мере, на короткий период, не является неправильным. Однако границы второго предположения гораздо строже: в соответствии с этим предположением предполагается, что движение из одного сектора в другой N зависит от закономерностей любых предыдущих движений.

Сравнивая свою модель с фактическими данными, исследователи обнаружили, что соответствие на самом деле довольно посредственное. Другими словами, было установлено, что второе предположение было нереалистичным: предполагается, что для любых двух лиц в одном и том же промышленном секторе будут верны одни и те же модели мобильности. На самом деле люди не такие уж однообразные. Последние ОСТ — это то, что отличает друг от друга и их, и их мобильность.

С учетом вышеизложенного исследователи разделили изучаемое население рабочих на две категории: в основном мобильные ("грузчики") и в основном неподвижные ("стайеры"). Оказалось, что эти две категории характеризуются явно разными матрицами перехода. Исследуя эти матрицы вторичного, уже отдельного анализа, исследователи обнаружили, что при таком подходе прогностическая способность Марковской модели относительно краткосрочных моделей мобильности значительно возрастает.

Для некоторых критиков, такие исследования — не что иное, как упражнение в практической статистике. "Где же теория?"— спрашивают они. Ответит, что теория заключается в упрощающих предположениях модели. Выраженные утвердительно, эти предположения являются сутью теории. Как таковые, они должны появиться из независимого социологического контекста (а не из математики) и проверить его. В приведенном выше примере теория изначально состояла из двух предположений. Первое предположение, переданное Я. "нормальным" языком, предполагает, что " величина подвижности постоянна во времени."Второе-что /" вероятность подвижности индивида не зависит ни от каких других его характеристик".

Как мы видели, недавнее теоретическое предположение было явно нереалистичным, поэтому было изменено третье теоретическое предположение, в котором на "нормальном" языке говорится ,что " есть две категории работников: склонные и не желающие двигаться, а второе предположение можно рассматривать как соответствующее истинному для каждой из этих категорий по отдельности."

Недавно еще одна группа исследователей из Корнельского университета разработала третью часть этой теории. Эти ученые начали с того, что едва ли можно так легко разделить людей на две категории. Вероятность перемещения индивида из окружающей среды в это время зависит от множества факторов взаимодействия. Эта идея легла в основу их аксиом, которые стали известны как " аксиома кумулятивной инерции."

Чтобы использовать метафору, по этой аксиоме окружающую среду можно уподобить баночке с глиной, которая медленно твердеет вокруг каждой попадающей в частицу. Чем дольше одна или другая частица находится в банке, тем сильнее "адгезионный" клей. На более формальном языке эта аксиома гласит следующее: вероятность того, что человек останется в таком состоянии природы, возрастает с каждым моментом его пребывания в этом состоянии.

Можно сказать, что аксиома кумулятивной инерции накладывает в той или иной степени, с интуитивной точки зрения, отражая такие обыденные понятия, как "корни", постепенно привыкают к месту или условиям, приобретая оковы привычек и настроений. Кроме того, весьма обнадеживают результаты предварительных эмпирических испытаний аксиом.

Ввод этой аксиомы в Марковскую модель делает математику хаотически сложной. Прежде всего, время становится "двумерным". Кроме традиционного рассмотрения фактора времени, как истории этой аксиомы, требуется ее внедрение в расчеты и как происходит история отдельных элементов системы. Это, в свою очередь, требует не только одной последовательности матриц перехода,но и матрицы матриц. Математический аппарат новой модели настолько сложен, что исследователям в последнее время приходилось обращаться за помощью не к психологам, а к компьютерам bastareaud.

Математики и социологи в семнадцатом и восемнадцатом веках не знали границ и использовали падающие бесконечно большие числа высшего порядка. Это привело к правильным результатам (например, при расчете мгновенной скорости и площади сложных фигур). Однако это также породило серьезные споры относительно законности таких операций.

Пример 1. Экспериментируется зависимость y = 200/(x + 2) между ценой одного из товаров x и спросом на него. Чтобы исследовать поведение функции спроса от цены товара y = 200/(W + 2) при неограниченном повышении цены (x —> -> OO), спрос приближается к нулю. И

V Пример 2. В пункте 6.1 рассмотрена модель Групповой продуктивности

где n-количество людей в научной команде; p(p) - ее производительность; R (1) - производительность при s = 1. Найти продуктивность естественно-научного коллектива при неограниченном росте его членов (п - > ОО):

Лим Р(П)= Лим п{л)ЕА^Н-Л) = ОО.

Предел равен бесконечности. Из этого следует, что нет оптимального размера группы с самой высокой производительностью. И

V Пример 3. Экономические исследования показывают, что спрос на сырьевые товары и спрос Z для роскоши зависят от дохода х следующим образом: х):

( Ь1 В(х-А1)Г(Х) = Х > АБ х — Cizlx) = 1 х > АІ, А2 > АИ,Ш - С2, где AI, А2 — уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров.

Функция y (x) и z(x) являются функциями L. törnqvist.

Найти как поменять Г(х) и Z(х) при х ОО:

&I (Ш — ИИ) _ (ОС ^ _ 6и (1 — аі/х) ки/Ш, р 6и (х - ОИ) / ОС 6и (1lim г (ш) = я — Я = Лим ж—>ОО П—>-ОО х — ход) ж—>-ОО 1

г ( у Ь2х(х-А1) (ОО 62ж(1 - а/ш) ПШ = я ф — я

Ж—)>ок ж—)>ОС х — с ц й Ш->-ОО 1 — Сі/х

Таким образом, при неограниченном увеличении доходов спрос на товары растет до определенного предела Б. миллионеры не покупают себе хлеб больше, чем есть. Поэтому число b называется уровнем насыщения.

Спрос на элитные товары не имеет уровня насыщенности. Он растет даже с неограниченным ростом доходов. Как видно из приведенных выше примеров, многие социальные закономерности можно было увидеть через переход к пределу. Именно поэтому приобретение навыков расчета является обязательным и входит в программу по математике для социологов.

Заключение

Критики математического анализа в социологии говорили о том, что результаты получены "с фокусом", потому что они считали, что математика, предполагая, что существующие сначала бесконечно малы, а затем отвергают ее как совершенно несуществующие, понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов, но применимы ко всему.

Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики в социологии, например, число 3 не связано неразрывно с каким-либо определенным содержанием - оно может относиться и к трем планетам, и к трем рублям, и к трем социальным группам, применимы и в физике, и в экономике, и в социологии. Они помогают предсказывать и затмения, и инфляцию, и рост населения– но фактически современная социология основана на применении математики по отношению к обществу.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также неотъемлемой частью мировоззрения. Книга «Начала» Евклида, заложившая фундамент классической геометрии, сильно повлияла на представления об устройстве нашего мира, а открытие неевклидовой геометрии и теории относительности сразу перевернуло представления о нем.

Не случайно Эйнштейн подчеркивал важность математики в постижении природы. Он писал: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов».

Список используемой литературы

Stephan F., Mishler Е. G. The distribution of participation in small groups: an exponential approximation. //Amer. Soc. Rev. 1952. V. 17, № 5. P. 482-608.

Яблонский А. И. Модели и методы математического исследования науки. М.: ИНИОН АН СССР, 1977. С. 89-90.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов http://bugabooks.com/book/371-matematika-dlya-sociologov-i-yekonomistov/9-15-obratnaya-funkciya.html

https://scibook.net/raznyih-stran-cotsiologiya/primenenie-kompyuterov-sotsiologii-19468.html

Код для цитирования: Скопировать