X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Главными задачами сопротивления материалов является расчёт конструкций и их элементов на прочность, жёсткость и устойчивость. В реальном мире всё подвижно, поэтому мы часто встречаемся с необходимостью проводить расчёты на прочность, жёсткость и устойчивость учитывая не только какие-либо статические нагрузки (такие как действие собственного веса, например), но и динамические, то есть постоянно меняющиеся и зависящие от большого количества различных факторов. Рельсы являются ярким примером того, как важен учёт динамических нагрузок при расчётах, ведь без этого, они просто не смогут выполнять свою главную функцию относительно прочности - сдерживать нагрузку проезжающий поездов.

При рассмотрении деформации рельсов исследователи пришли к выводу, что при действии динамических нагрузок деформация рельса значительно больше, чем при статических нагрузках. Такое изменение возникает под действием множества причин динамического характера. Рассмотрим изгиб рельса под действием колес поезда.

Представим рельс как стержень бесконечной длины, лежащий на сплошном упругом основании. Рассмотрим действие на него вертикальной силы Р. Если взять ось х в направлении оси рельса, а ось у в направлении силы Р, то для линии прогибов получим выражение:

(1)

где ; Е – модуль упругости

k – податливость упругого основания равная отношению D/l, где

D – величина двух вертикальных сил, которые приложены к шпале в месте крепления её к рельсу и вызывают оседание этой шпалы, равное 1 см

l – расстояние между осями шпал

Найдём выражение для изгибающего момента

(2)

При действии какой-либо комбинации вертикальных сил используем принцип наложения и найдём зависимости для y и M. Ели ограничимся одной силой, то получим формулы:

(3)

Найдём значение, соответствующее максимальному напряжению:

(4)

где F - площадь поперечного сечения рельса и

Из данной формулы видно, что максимальное напряжение обратно пропорционально , иными словами максимальное напряжение обратно пропорционально весу рельса.

Найдём максимальное давление R, передаваемое со стороны шпалы на рельс:

(5)

Отсюда видно, что максимальное давление зависит от расстояния l.

Таким образом, мы выяснили, что максимальное напряжение обратно пропорционально весу рельса, а максимальное давление, передаваемое со стороны шпалы на рельс, зависит от расстояния между осями шпал.

Динамические прогибы рельса под действием движущихся нагрузок значительно превышают те, которые были найдены из формулы (1), которая соответствует только статичному случаю. Существует несколько причин обусловленные динамикой и вызывающие увеличение этих прогибов. Первой причиной является изменение усилий, которые действуют на колесо. Например, изменение подрессоренных сил и изменение вертикальных составляющих центробежной силы от противовеса могут существенной увеличить деформацию рельса. Второй причиной являются различного рода не­ правильности в очертании колеса и рельса. Третьей причиной, видоизменяющей прогибы рельса, являются колеба­ния рельса и связанных с ним шпал и основания.

Вычислим динамические прогибы, вызванными первыми двумя причинами. Для этого будем рассматривать рельс как невесомый стержень, лежащий на упругом основании.

Если формы колёс и поверхность рельса абсолютно правильные, то вертикальные перемещения колеса равны прогибу рельса. Тогда уравнение, описывающее движение колеса примет вид:

(6)

где q – вес колеса; Q- вертикальная сила, действующая на колесо и представляющая собой собственный вес колеса, подрессоренные силы, а также в некоторых случаях силы инерции от противовесов и других движущихся частей локомотива. Здесь же также учитывается вертикальная составляющая усилий от присоединённого шатуна.

Определим свободные колебания колеса на рельсе. Предположим, что Q=0 тогда период свободных колебаний колеса на рельсе равен , где – статический прогиб рельса под действием веса колеса. Величина Т колеблется между 1/20 и 1/30 сек.

Для того, чтобы вычислить прогиб рельса при постоянной части силы (собственный вес колеса и подрессоренная сила), воспользуемся формулой (3). Вертикальная составляющая сил инерции от противовесов может быть вы­ражена таким образом:, где — продолжительность одного оборота колеса. Составим прогиб рельса с учётом всех сил:

(7)

Было выяснено, что , следовательно, как можно видеть из формул (3) и (7), динамический прогиб очень мало отличается от прогиба, найденного из условий статики.

Рассмотрим вариант, когда на окружности колеса или на поверхности рельса имеются не­ правильности. В этом случае вертикальные перемещения колеса не будут равны про­гибу у рельса. Уравнение движения колеса в этом случае будет иметь вид:

(8)

где η — переменная глубина впадины на поверх­ности рельса, а у + η - перемещения колеса.Сопоставляя уравнение (8) с уравнением (6), можно сделать вывод о том, что действие впадины на поверхности рельса такое же, как и действие вертикальной переменной силы, задаваемой выражением .

Пусть υ — скорость поезда и = a/υ — продолжительность пробега по впадине. Считая, что х = υt, вычислим сле­дующее выражение для прогиба рельса, вызванного впадиной на его по­верхности:

(9)

В данном случае предполагается непрерывность перехода контура впадины в поверхность рельса. Как видно из формулы (9), влияние впадины зависит не только от ее профиля и глубины, но также и от соотношения между и. В момент входа колеса во впадину давление на рельс уменьшается и колесо приобретает вертикальную ско­рость, направленную вниз. Из-за наличия этой скорости по истечении ка­ кого-то времени давление на рельс значительно возрастет. Если пред­положить, что отрицательные прогибы гораздо меньше положительных про­гибов, вызванных постоянным давлением, то в этом случае можно рассмат­ривать отрыв рельса от упругого основания.

Таким образом, на примере данных формул видно, как при различных приложенных нагрузках могут проявляться динамические прогибы рельса. Видно, что при увеличении сложности динамических нагрузок увеличивается и напряжение в рельсах. Необходимость этих формул заключается в том, что, рассчитывая рельсы на прочность, можно увеличить долговечность их службы, а также уменьшить вероятность аварий на железнодорожных путях. При этом необходимо учитывать, что здесь рассматривался случай бесконечно длинного рельса. При наличии стыков рельса конечной длины динамический эффект носит сложный харак­тер: будут иметь место толчки, вызывающие нарастание напряжения в рельсе и увеличение давления на шпалы.

Список литературы:

Беляев Н.М. Сопротивление материалов: - 14-е издание. - М.: Изд-во "Наука", 1965. - 856 с.

Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости: - Киев: Изд-во "Наукова думка", 1975. – 564 с.

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. - 10-е издание, перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999. - 592 с.

Код для цитирования: Скопировать