X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Одним из простейших случаев напряженного состояния балки является чистый изгиб. Основной особенностью данного состояния является то, что усилия в произвольном сечении балки сводятся к постоянной по своему значению паре сил, плоскость действия которой включает в себя ось балки. При этом ось принимает форму дуги окружности, а поперечные сечения остаются плоскими.

Рассматривая случай чистого изгиба, мы сталкиваемся с понятием нейтрального слоя. Нейтральным слоем называется плоскость в поперечном сечении изгибаемой балки, в которой нормальные напряжения равны нулю. Изменение кривизны нейтрального слоя при чистом изгибе вычисляется следующим образом:

,(1)

где dθ -

Так же мы имеем возможность рассчитать относительное удлинение слоя AB, расположенного на расстоянииyот нейтрального слоя:

,(2)

где ρ – радиус кривизны изогнутой нейтральной оси стержня.

При рассмотрении рисунка выше заметим, что сжимаются только волокна, расположенные ниже нейтральной оси стержня, а растягиваются лишь те, что находятся выше. Следовательно, из обобщённого закона упругости, получаем напряжении для верхней и нижней зоны:

при ,

при . (3)

Так как чистый изгиб характеризуется лишь парами сил M, то внутренние силы также должны привестись к паре. Из этого следует, что проекции всех нормальных усилий на ось x равны нулю, а момент равен приложенному моменту M (поперечное сечение стержня для простоты примем за прямоугольное). В этом случае получим следующие уравнения равновесия:

(4)

(5)

Подставив значения напряжений из (3) в (4), получим:

что совместно с равенством для определения положения нейтрального слоя дает следующие формулы:

(6)

Из уравнения (5) согласно (3) получим

(7)

откуда, введя понятие жесткости изгиба для разномодульного тела:

(8)

получим знакомую формулу для определения кривизны стержня при чистом изгибе:

. (9)

Согласно (9) и (3) получим формулы для определения напряжений:

(10)

Таким образом, поставленная задача была решена. Найдены зависимости радиуса кривизны стержня и напряжений от степени разномодульности.

Литература:

Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. – М.: Наука, 1982.

Тимошенко С.П. Курс сопротивления материалов. – М.: Гостехиздат, 1931.

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Физматгиз, 1960.

Код для цитирования: Скопировать