IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

В рамках настоящего исследования решены следующие задачи: сформулировано исходное информационное обеспечение; разработан алгоритм и с помощью MS Excel выполнены расчеты, связанные с определением параметров моделей производственных функций и их статистических характеристик; сформирован комплекс взаимосвязанных таблиц с результатами и проведен их анализ.

Для решения перечисленных задач собрана, обобщена и организована в виде таблиц исходная информация, в качестве которой выступают статистические данные по четырем ключевым показателям регионов России: валовому региональному продукту (Y), стоимости основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объемам инвестиций (I).

Модели производственных функций целесообразно построить за разные временные периоды, чтобы исследовать и выявить происшедшие изменения в динамике. В качестве таких временных периодов нами выбраны три года – 2005, 2010 и 2014.

Рассмотрим некоторые из экономических понятий, связанных с названием настоящего исследования: связи и зависимости, корреляционно-регрессивный анализ, моделирование, производственная функция, системный подход, группировка. Сущность и особенности этих понятий рассматриваются различных литературных источниках [см., например, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11].

Связь, зависимость, тенденция - понятия, широко применяемые в различных сферах человеческой деятельности и имеющие множество смысловых значений. Однако нас интересует сущность этих понятий применительно к показателям в экономике. В Советском энциклопедическом словаре, в словарях различных авторов под связью между показателями в экономике понимается: во-первых, отношение взаимной зависимости, обусловленности, общности между чем-нибудь; во-вторых, взаимообусловленность существования явлений, разделенных в пространстве и во времени [http://www.life-prog.ru/1_57323_....].

Содержанием, предметом связи является информация. В нашем случае в качестве такой информации выступают величины различных экономических показателей. «Зависимость» является частным случаем понятия «связь». Под зависимостью понимается связанность явлений, обусловленность, корреляция, регрессия. Корреляция или корреляционная зависимость представляет собой статистическую взаимосвязь двух или более случайных величин, а регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин [http://dic.academic.ru/ dic.nsf/enc_mathematics/4731/].

Связи и зависимости целесообразно и принято выражать в виде математических формул (равенств, неравенств, уравнений). Совокупность взаимосвязанных математических формул, таблиц, схем, диаграмм и графиков, выражающих связи и зависимости в экономике, принято называть экономико-математическими моделями [1, 5, 7, 11].

Если зависимость одного экономического показателя от одного, двух и более других выражена в виде уравнения, то зависимый показатель принято называть результативным, а независимые - показателями-факторами.

Под моделью понимается условный образ объекта исследования или управления, отображающий основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры, существенные для цели исследования) [5].

Модели применяются во всех сферах человеческой деятельности. Для нас интерес представляют модели, которые могут быть описаны языком математики, к которым относятся и экономико-математические модели.

Чтобы обеспечить устойчивое развитие экономики требуется знать состояние экономики и конкретные цели в конкретный период времени. Инструментом, позволяющим оценить состояние развития экономических объектов, является анализ.

Под анализом понимается исследование экономики как совокупности протекающих в ней процессов, проводимое с целью выявления основных тенденций и закономерностей развития. Экономический анализ осуществляется с целью выявления основных тенденций и закономерностей развития экономики, их взаимосвязи и взаимовлияния факторов [4].

К анализу связей и зависимостей следует подходить системно. Системный подход к анализу экономических объектов подразумевает понимание того, что каждый такой объект представляет собой сложную систему элементов объединенных множеством связей как друг с другом, так и с внешней средой. Нельзя анализировать тот или иной аспект деятельности экономического объекта изолированно, это следует делать только с учетом системных связей [4].

Системный подход к анализу обеспечивается через его методы. Под методом понимается способ достижения цели, определенным образом упорядоченная деятельность [4]. В наиболее общем виде метод представляет собой комбинацию трех составляющих: М={K,I,P}, где К - категории науки; I - инструментарий исследований; Р - принципы [4].

Среды связей и зависимостей в экономике особое место занимают таковые между показателями затрат ресурсов и выпуска продукции, которые называются производственными функциями. В общей форме производственную функцию можно выразить равенством

F(х, у, А) = 0, где у - вектор выпусков продукции; х - вектор затрат ресурсов; А - матрица параметров [7].

В экономических исследованиях производственную функцию понимают в виде одного уравнения, причем все компоненты выпуска объединены (по стоимости или в натуре) в одну величину (у), а число производственных ресурсов (показатели-факторы x_i) сведено к минимуму, допускающему расчет параметров производственной функции на базе имеющейся информации. Считается целесообразным, чтобы число факторов было не более десяти [5].

Поскольку количественная связь между затратами и результатами производства носит статистический характер, производственная функция представляет собой регрессионную модель.

Исходные данные, необходимые для построения уравнений производственных функций выбраны из базы данных социально-экономических показателей регионов России, созданной нами по данным статистического ежегодника «Россия в цифрах» [8].

К исследованию регионов применен метод группировок, т.е. все регионы разбиты на три группы: малые, средние и крупные. Деление регионов на группы осуществлено по показателю «валовой региональный продукт». Отметим, что из четырех рассматриваемых показателей валовой региональный продукт (Y) принят за результативный (зависимый) показатель, а остальные три ресурсных показателя (стоимости основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объемам инвестиций (I)) – за независимые показатели-факторы. При этом построены и анализируются две зависимости: а) Y от K, L; б) Y от L, I.

В группы малых и средних регионов включены по 27 регионов, а в группу крупных - 26. Однако из группы крупных регионов исключены г. Москва и Тюменская область, показатели которых существенно превышают их величины по остальным регионам. Поэтому в третьей группе осталось 24 региона.

Для каждой группы регионов и в целом по всем регионам за каждый год построены по четыре уравнений (два линейных и два степенного вида) производственных функций:

- линейного вида , ;

- степенного вида , .

Эти два вида уравнений имеют преимущества перед остальными, главное из которых состоит в возможности экономического истолкования параметров, что также будет продемонстрировано ниже.

Построить уравнения производственных функций означает, во-первых, рассчитать параметры (b, m₁, m₂, m₃) и провести их анализ; во-вторых, рассчитать статистические характеристики и с их помощью оценить приемлемость построенных уравнений.

Нет необходимости рассматривать здесь сущность, методы и математические формулы для расчета параметров и статистических характеристик для уравнений регрессии, поскольку все это можно найти в учебной литературе по эконометрике и научных публикациях [1, 7, 11] .

Кроме того, параметры и большинство из статистических характеристик можно рассчитать на ПЭВМ с помощью встроенных статистических функций. В частности для построения уравнений производственных функций линейного и степенного видов можно использовать статистическую функцию «ЛИНЕЙН» из инструментария «Мастер функций» в MS Excel.

Поэтому перейдем непосредственно к анализу полученных нами результатов, сначала для уравнений линейного вида, а затем степенного.

Параметр b (свободный член уравнения) в уравнениях регрессии линейного вида не имеет экономического смысла, но параметры при независимых показателях-факторах (m₁, m₂ и m₂, m₃) всегда имеют экономический смысл: они показывают величину роста результативного показателя Y (ВРП в млрд.руб.) при увеличении каждого из ресурсов на одну абсолютную единицу.

Отметим также, что одна из важных статистических характеристик, называемая предельной эффективностью и определяемая как производная Y по K(Y по L;Y по I) численно равна коэффициенту при показателе-факторе, т.е. ; ; .

В таблице 1 приведены величины параметров уравнений производственных функций линейного вида для обеих зависимостей (Y от K, L и Y от L, I) по трем группам регионов и по всем регионам в целом.

Таблица 1

Величины параметров уравнений производственных функций линейного вида, выражающих зависимость ВРП (Y) от стоимости основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объема инвестиций (I) по группам регионов России за 2005, 2010 и 2014 гг.

	ВРП от стоимости основных фондов и численности занятых в экономике				ВРП от численности занятых в экономике и инвестиций
		m1	m2			m2	m3
2005
Малые	3,773	0,1819	0,0308	1,375		0,0694	1,4920
Средние	23,0	0,2686	-0,0063	36,4		0,0585	0,9458
Крупные	2,497	0,4696	-0,0325	25,2		-0,0443	4,4279
Все регионы	-15,814	0,3463	0,0314	-6,280		0,1005	1,7672
2010
Малые	15,117	0,1870	0,0631	12,674		0,1393	1,0334
Средние	34,395	0,1588	0,1232	61,871		0,0934	1,2513
Крупные	-57,8	0,3049	0,1531	-45,7		0,3228	1,0585
Все регионы	-42,8	0,2969	0,1456	-41,9		0,2888	1,2251
2014
Малые	19,8	0,1572	0,1849	16,1		0,2762	0,8682
Средние	39,4	0,1864	0,1943	106,8		0,1590	1,3238
Крупные	-129,4	0,2614	0,3891	-78,8		0,2727	2,6038
Все регионы	-87,8	0,2965	0,2952	-63,4		0,3953	1,8223

По величинам параметров m₁, m₂ и m₂,m_3, характеризующим предельную эффективность использования основных фондов, трудовых ресурсов и инвестиций в регионах России из таблицы 1 можно сформулировать следующие выводы:

- по данным за 2005 г. параметр m₁ по группам регионов от малых до крупных увеличивался, т. е. предельная эффективность основных фондов росла; предельная эффективность использования трудовых ресурсов в малых регионах оказалась положительной, а в средних и крупных – отрицательной, отрицательность предельной эффективности свидетельствует об избытке этого ресурса и необходимости сокращения его объемов;

- в 2010 г. и в 2014 гг. предельная эффективность использования основных фондов и трудовых ресурсов, во-первых, была положительной; во-вторых, она росла вместе с ростом размеров регионов (исключение составило использование основных фондов в 2010 г., в котором эффективность фондов малых регионов оказалась выше, чем у средних);

- величина предельной эффективности использования основных фондов (m₁) по группам регионов в динамике изменялась следующим образом: по малым в 2010 г. увеличилась, в 2014 г. уменьшилась; по средним – наоборот, в 2010 г. уменьшилась, в 2014 г. выросла; по крупным регионам в оба периода увеличилась; в среднем по всем регионам предельная эффективность в динамике уменьшилась; предельная эффективность использования трудовых ресурсов в динамике выросла по всем трем группам регионов и по всем регионам в целом;

- в соответствии с параметрами зависимости Y от L, I: эффективность использования трудовых ресурсов (m₂) по группам регионов в 2005 г. снизилась, в 2014 г. имело место уменьшение – рост; эффективность использования инвестиций (m₃) менялась по схеме уменьшение - рост в 2005 г., рост-уменьшение в 2010 и рост в 2014 г.; изменение m₂ в динамике по рассматриваемым периодам: по малым, средним и по всем регионам имел место рост, по крупным - рост-уменьшение; изменение m₃ в динамике: по малым регионам - уменьшение, по средним – рост, по крупным и по всем регионам - уменьшение-рост.

В заключение анализа параметров приведем математическую запись уравнений производных функций линейного вида, полученных по данным регионов за 2014 г. (таблица 2). Из таблицы 2 видно, что предельные эффективности обоих ресурсов (т.е. параметры m₁ и m₂) для зависимости Y от K,L в 2014 г. и параметра m₃ в уравнениях производственных функций для зависимости Y от L,I по средним регионам выше, чем по малым, а по крупным примерно равны.

Таблица 2

Математическая запись уравнений производных функций линейного вида,

построенных по данным регионов России за 2014 г.

Группы регионов	Математическая запись уравнений производственных функций
	Для зависимости Y от K, L	m1+m2
Малые	Y= 19,8+0,1572*K+0,1849*L	0,3421
Средние	Y= 39,4+0,1864*K+0,1943*L	0,3807
Крупные	Y=-129,4+0,2614*K+0,3891*L	0,6505
Все регионы	Y= -87,8+0,2965*K+0,2952*L	0,5917
	Для зависимости Y от L, I	m2+m3
Малые	Y= 16,1+0,2762*L+0,8682*I	1,1444
Средние	Y=106,8+0,1590*L+1,3238*I	1,4828
Крупные	Y= -78,8+0,2727*L+2,6038*I	2,8765
Все регионы	Y= -63,4+0,3953*L+1,8223*I	2,2176

Представляют интерес суммарные величины m₁+m₂ и m₂+m₃, которые показывают абсолютную величину роста ВРП (в млрд. руб.) при одновременном увеличении каждого из ресурсов на одну абсолютную единицу:

а) стоимости основных фондов на 1 млрд. руб. и численности занятых в экономике на 1 тыс. чел.; б) численности занятых в экономике на 1 тыс. чел. и объема инвестиций на 1 млрд. руб. (см. столбец 3 таблицы 2).

Важнейшими из характеристик многофакторных уравнений регрессии (в т.ч. двухфакторных) являются изокванты и предельные нормы взаимозаменяемости показателей-факторов. Изокванты представляют собой совокупность значений показателей-факторов, при которых результативный показатель принимает одно и то же значение. В случае двухфакторного уравнения линейного вида для зависимости Y от K, L изокванта определяется по формуле

K=(Y_конс-b)/m₁-(m₂/m₁)*Lили L=(Y_конс-b)/m₂-(m₁/m₂)*K.

Так, уравнения изоквант для всех регионов за 2005, 2010 и 2014 г. для зависимости Y от K, L имеют вид:

за 2005 г. ;

за 2010 г. ;

за 2014 г. .

Если принять равной средней величине ВРП и выполнить соответствующие расчеты, то уравнения изоквант примут вид:

за 2005 г. ;

за 2010 г. ;

за 2014 г. .

Как известно в уравнениях производственных функций показатели-факторы (в нашем случае K и L;Lи I) являются взаимозаменяемыми. Следовательно, в соответствии с теорией о производственных функциях можно определить предельные нормы этих взаимозависимостей. Предельные нормы взаимозаменяемости определяются по уравнениям изоквант путем нахождения частных производных, в нашем случае и [1, 11].

В случае производных функций линейного вида предельные нормы взаимозаменяемости являются числовыми величинами, получаемыми по формулам: m₂/m₁и m₁/m₂. Предельная норма взаимозаменяемости показывает, какая величина одного ресурса требуется, чтобы заменить одну единицу другого. В нашем случае, чтобы заменить 1 тыс.чел. численности работников основными фондами в соответствии с уравнениями производных функций в 2014 г. требовалось: малым регионам 1,176; средним - 1,042; крупным – 1,489 и регионам в целом по стране – 0,996 млрд.руб.

В таблице 3 приведены предельные нормы основных фондов (m₂/m₁) и инвестиции (m₂/m₃), необходимые для замены численности занятых в 1 тыс.чел.

Как видно из таблиц 3 и 4 предельные нормы основных фондов и инвестиций, требуемые для замены 1 тыс. чел. по группам регионов и в целом по стране увеличились в разы. Во второй части таблицы 4 приведены коэффициенты отношений предельных норм из таблицы 3 к их величинам по малым регионам (малые регионы приняты за 1,00). Как видно из этих данных, однозначного влияния размеров регионов на величины предельных норм не наблюдается.

Таблица 3

Предельные нормы взаимозаменяемости стоимости основных фондов (К),

численности занятых в экономике (L) и инвестиций (I) в производственных

функциях для групп регионов России за 2005, 2010 и 2014 гг.

Группы регионов	m2/m1				m2/m3
	2005	2010	2014	2005		2010	2014
Малые	0,169	0,337	1,176	0,046		0,135	0,318
Средние	отриц.	0,776	1,042	0,062		0,075	0,120
Крупные	отриц.	0,502	1,489	отриц.		0,305	0,105
Все регионы	0,091	0,490	0,996	0,057		0,236	0,217

Примечание. Отрицательность означает, что в этом случае предельные нормы взаимозаменяемости нельзя рассчитать, поскольку величины параметра m_lоказались отрицательными

Таблица 4 - Коэффициенты роста предельных норм заменяемости численности работников основными фондами и инвестициями (2010 г.=1,00)

Группы регионов	m2/m1				m2/m3
	2005	2010	2014	2005		2010	2014
Малые	0,50	1,00	3,49	0,35		1,00	2,36
Средние	-	1,00	1,34	0,83		1,00	1,61
Крупные	-	1,00	2,96	-		1,00	0,34
Все регионы	0,18	1,00	2,03	0,24		1,00	0,92
Малые = 1,00
Малые	1,00	1,00	1,00	1,00		1,00	1,00
Средние	-	2,30	0,89	1,33		0,55	0,38
Крупные	-	1,49	1,27	-		2,26	0,33
Все регионы	0,54	1,45	0,85	1,22		1,75	0,68

По параметрам построенных уравнений регрессии при всей их важности нельзя судить о приемлемости уравнений регрессии для оценки связей и зависимостей в экономике. Расчет и анализ параметров должен быть дополнен расчетами и анализом целой группы показателей, называемых статистическими характеристиками. В учебной литературе по эконометрике рассматривают около трех десятков таких характеристик [1, 11].

Однако, для оценки приемлемости уравнений нет необходимости рассчитывать и анализировать все эти характеристики, поскольку они представляют собой взаимосвязанную совокупность показателей, в которой одни показатели определяются на основе других и в какой-то степени дублируют друг друга.

С нашей точки зрения можно ограничиться рассмотрением наиболее значимых характеристик, к которым можно отнести: стандартную ошибку для зависимой переменной (sey), коэффициент детерминации (R), F-критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации и др.

В таблице 5 приведены величины вышеназванных нами статистических характеристик для линейных уравнений производственных функций Y от K,Lи Y от L,I.

Таблица 5

Величины статистических характеристик для уравнений производственных

функций линейного вида, выражающих зависимость ВРП (Y) от стоимости

основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объема

инвестиций (I) по группам регионов России за 2005, 2010 и 2014 гг.

		ВРП от стоимости основных фондов и численности занятых в экономике				ВРП от численности занятых в экономике и инвестиций
	Ycp	sey	R	F	A	sey	R	F	A
2005
Малые	34,7	5,3	0,9273	153,1	15,3	5,4	0,9239	145,6	15,6
Средние	97,9	21,2	0,5368	13,9	21,7	25,6	0,3206	5,7	26,1
Крупные	274,7	31,3	0,9203	421,7	11,4	30,2	0,9257	454,8	11,0
Все регионы	128,5	31,3	0,9203	421,7	24,4	30,2	0,9257	454,8	23,5
2010
Малые	73,9	13,8	0,866	77,6	18,7	15,7	0,8249	56,5	21,2
Средние	206,7	39,2	0,5515	14,8	19,0	33,6	0,6707	24,4	16,3
Крупные	601,6	127,9	0,8584	63,6	21,3	149,3	0,8069	43,9	24,8
Все регионы	282,3	76,1	0,9313	508,1	27,0	88,3	0,9074	367,4	31,3
2014
Малые	122,1	19,4	0,9015	109,8	15,9	23,1	0,8601	73,8	18,9
Средние	342,1	43,5	0,8044	49,4	12,7	59,0	0,6391	21,3	17,2
Крупные	1034,5	198,0	0,888	83,2	19,1	235,2	0,8419	55,9	22,7
Все регионы	479,0	120,2	0,9431	621,1	25,1	139,5	0,9233	451,3	29,1

Три из этих характеристик определены средствами статистических функций MS Excel, а четвертый – средняя ошибка аппроксимации рассчитана по формуле , где sey – стандартна ошибка для y, – средняя арифметическая величина ВРП.

В соответствии с величиной R (коэффициент детерминации) уравнения производственных функций для малых, крупных и всех регионов являются приемлемыми, поскольку величина этого коэффициента составляет более 0,8, что считается высокой. Для группы средних регионов величины R ниже, чем для других групп регионов, но также являются приемлемыми (корреляционную связь можно считать средней), исключение составляет зависимость ВРП от L и I за 2005 г. (R=0,32), но и такая связь считается приемлемой (на удовлетворительном уровне).

По величию F-критерия Фишера все уравнения производственных функций можно считать приемлемыми (но также в разной степени).

Более определенные выводы о приемлемости можно делать по средней ошибке аппроксимации (A). Если величина A менее 10%, то связь считается хорошей. Таких связей в нашем случае нет. В семи случаях из 12-ти для зависимости Y от K, L10

Код для цитирования: Скопировать