Т- любое разбиение на . Составим сумму Дарбу:
Сумма s – площадь ступенчатого многоугольника (А), содержащегося в (Р), S – площадь ступенчатого многоугольника (В), содержащего (Р). cм [1]
Так как f(x) - непрерывна, то она интегрируема на . Значит, и фигура (Р) квадрируема, а ее площадь Р равна общему пределу S и s, то есть
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией и осью Ох.
см [2]
II. Пусть кривая задана полярным уравнением и непрерывна на . Фигура, ограниченная кривой и двумя радиусами-векторами называется сектором (Р).
Разобьем на n частичных секторов. Рассмотрим n-ный сектор. Обозначим
Круговые секторы с углом и радиусами и имеют соответственно площади
Рассмотрим две фигуры (Q) и (R), составленные из круговых секторов с радиусами и соответственно.
Их площади:
Фигура (Q) содержится в (Р), (R) содержит (Р). Суммы Q и R являются суммами Дарбу для функции на . Эта функция непрерывна и потому интегрируема на . Значит при , то есть (Р) квадрируема и
Пример 2. Найти площадь спирали Архимеда
см [3]
Пример 3. Вычислить площадь следующей функции:
Решение:
Ищем решение при а=1
см [4]
Список используемой литературы:
1. http://math.phys.msu.ru/data/28/MA_Butuzov_lec(11).pdf
2. http://studopedia.ru/8_13287_primeri-resheniya-zadach.html
3. http://www.rusnauka.com/46_PWMN_2015/Istoria/3_204327.doc.htm
4. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Куницкая Е.С. Математический анализ, интегральное исчисление // М.: Просвещение, 1988. Гл. 3; 96 с.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа // М.: Физматлит, 2005 Часть 1; 648 с.
6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике // М.: Высшая школа, 1983. Часть 4. С. 83.
7. Миронов Н.П. Лекции по математическому анализу // Елабуга: Елабужский гос. пед. институт, 1999. Часть 3; 64 с.
8. Уваренков И.М., Маллер Н.З. Курс математического анализа // М.: Просвещение, 1996. Т. 1; 629 с.