МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ - Студенческий научный форум

IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В данной работе рассматривается несколько знаменитых голо­воломок на шахматной доске, задача на покрытие шахматной доски костями домино, задачи на разрезание, математика шахматных фигур все задачи носят математический характер и предлагались на предметной математической олимпиаде разных уровней.
  1.  
    1. Парадокс шахматной доски

Проделаем мысленно некоторые ма­нипуляции с шахматной доской. Разрежем ее на четыре части, как показано на рисунке 1 (по­ля специально не раскрашены), и составим из них прямоугольник (рис.2).

Шахматная доска состоит из 64 клеток, а вот полученный прямоугольник — из 65. При разрезании доски откуда-то взялось одно лиш­нее поле!

 

Рис 1

Рис 2

 

Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если де­лать чертеж аккуратнее, то вместо диагонали прямоугольника появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые ка­жутся почти слившимися. Это как раз и есть то самое «лишнее» поле.

Рис 1

 

1.2. Необычное доказательство теоремы Пифагора

Теперь рассмотрим любопытное шахматное доказатель­ство теоремы Пифагора. Донное доказательство очень красочно, живо и понятно доказывает, что «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Нарисуем на доске квадрат, в результате чего она разбивается на пять частей: сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольни­ка (рис.3). А теперь взглянем на рисунок 4.

Рис 3

Рис 4

 

 

Рис 3

Рис 4

 

Перед нами те же четыре треугольника, а вместо одного большого квадрата два квадрата мень­ших размеров. Треугольники на обоих рисунках имеют равную площадь, значит, равная пло­щадь и у оставшихся частей доски: сверху один квадрат, снизу — два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного тре­угольника, а маленькие — на его катетах, дела­ем вывод, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора доказана.

1.3. Покрытие шахматной доски костями домино

Рис 4

 

Можно ли покрыть костями домино 2x1 ква­драт 8x8, из которого вырезаны противополож­ные угловые клетки? (рис. 5).

Можно было бы заняться скучными матема­тическими рассуждениями, но шахматное реше­ние и изящнее, и проще. Окрасим наш урезан­ный квадрат (на рис. Сверху) в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без угловых полей al и b8 (рис. 6).

Рис 5

Рис 6

 

При покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно черное поле, и, зна­чит, весь набор костей (в количестве 31 штуки) покрывает одинаковое число белых и черных по­лей. Но на нашей урезанной доске черных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля чер­ные), и, следовательно, необходимого покрытия не существует! Итак, раскраска доски не только помогает шахматисту ориентироваться во время игры, но и позволяет решать необычные головоломки.

1.4 Задачи на разрезание

Задача 1. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 7, где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни.

Рис.7

Задача 2. На какое максимальное число разных частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается. Максимальное число частей равно 18. На рис. 8(а,б) представлены два вида разрезов.

Рис.8

Задача 3. Какое максимальное число полей доски можно пересечь одной прямой?

Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых — девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис. 9 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток. Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей доски.

Рис.9

Задача 4. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?

Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно — по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других — в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис. 10).

Рис.10

1.5 Математика шахматных фигур.

Задача 1. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так,, чтобы одна не могла взять другого?

Решение: Шахматная доска имеет 8 горизонталей и 8 вертикалей, т.е. 64 клетки. Всего способов взаимного расположения на доске двух фигур равно 64*63. Определим количество расположений двух ладей так, чтобы они не могли взять друг друга. На каждой горизонтали таких способов будет 8*7. Так как различных горизонталей и вертикалей 16, то всего количество различных вариантов составит 16*8*7. Таким образом , количество искомых способов равно64*63-16*8*7=3136.

Задача2. Сколькими способами король с поля е1может добраться кратчайшим путём до поля d8?

Решение. Кратчайшее путешествие короля до цели занимает семь ходов, причём он может перемещаться любими зигзаобразными путями, оставаясь при этом внутри квадрата e1-a5-d8-h4. Для подсчёта искомого числа составим таблицу чисел, которые будем перемещать прямо на полях доски (рис. 1). Число стоящее на данном поле равно числу кратчайших путей до него с поля е1. На поля d2, e2,f2 король может попасть кратчайшим путём единственным способом, и поэтому на них стоят единицы. По той же причине единицы стоят на полях с3 и g3. На поле d3 за два хода король попадает двумя способами , а на е3- тремя. В общем случае число кратчайших до данного поля складывается из одного , двух и трёх чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали с которых король попадает на данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерностью, мы, в конце концов заполним всю таблицу и получим с поля е1до поля d8 может добраться кратчайшим путём 357 способами.

Рис.1

Задача 3. На шахматной доске размером 8X8 отметили 17 клеток. Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню потребуется не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.

Решение. Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке рис.3. Легко проверить, что путь коня от любой из четырёх клеток этой фигуры до любой другой состоит не менее, чем из трёх ходов. Шестнадцатью такими фигурами можно замостить всю доску (рис. 4). По принципу Дирихле одна из этих шестнадцати фигур содержит, по крайней мере, две отмеченные клетки. Они и будут искомыми.

Рис.3 Рис.4

Заключение

Шахматы справедливо считают единственной игрой из всех, придуманных человеком, в которой сочетаются спорт, искусство и наука. Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваем фантазию. Занятие шахматами способствует развитию математических способностей человека. Шахматы – это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а любое соревнование совершенствует сильные черты личности.

Под словом «игра» понимается не только забава, отдых или спорт, но, что гораздо важнее, возможность создать на шахматной доске необычное, фантастическое – в этом шахматы близки к искусству. Но к шахматам можно относиться и как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научного исследования – именно такой подход свойствен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике.

В ходе работы мы исследовали связь математики и шахмат, рассмотрели математические решения задач, связанных с шахматной доской и шахматными фигурами. Таким образом, цель работы достигнута. Работу можно использовать для подготовки к олимпиадам, конкурсам, проведения кружков, спецкурсов.

Литература

  1. Агаханов Н.Х. Математические олимпиады Московской области - М: «Физтехмат», 2006.

  2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.

  3. Гик Е.Я. Математика на шахматной доске – М: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2009.

  4. Гик Е.Я. Шахматы и математика. – М.: Наука, 1983.

  5. Чулков П.В. Школьные олимпиады. М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2001.

 

Просмотров работы: 1242