IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

В данном исследовании предпринята попытка характеристики аксиоматического метода, рассмотрена его роль в науке, тенденции формализации математики. Прослежены исторические вехи становления метода и его роль в развитии математического образования.

Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда, когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.

Математика строится не только на основе дедуктивного, но и аксиоматического метода.

Под аксиоматическим методом в современной науке понимается такое построение определенной научной дисциплины, когда ряд ее положений принимается без доказательства и входящим в них понятиям не даются определения, а все остальное знание выводится из этих положений по заранее фиксированным логическим законам или правилам.

Аксиоматический метод в наше время используется во многих науках (логике, физике, химии, биологии, лингвистике и т. д.), но исторически он возник в математике (примером аксиоматического построения геометрии и арифметики в античном мире могут служить «Начала» Эвклида) и является наиболее специфичным для этой науки.

Аксиоматический метод и его роль в науке Геометрия Евклида

Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода - геометрия Евклида.

Для древних греков объекты математики имели реальное существование в «мире идей». Некоторые свойства этих объектов представлялись умственному взору совершенно неоспоримыми и объявлялись аксиомами, другие - неочевидные - следовало доказывать, опираясь на аксиомы. При таком подходе не было большой необходимости в точной формулировке и полном перечне всех аксиом: если в доказательстве используется какое-то неоспоримое свойство объектов, то не так уж важно, занесено оно в список аксиом или нет - истинность доказываемого свойства от этого не страдает.

Хотя Евклид в своих «Началах» и приводит список определений и аксиом (включая постулаты), он сплошь и рядом использует положения, интуитивно совершенно очевидные, но не входящие в число аксиом. Что же касается его определений, то число их больше, чем число определяемых объектов, и они совершенно непригодны для использования в процессе доказательства. Список определений в первой книге «Начал» начинается следующим образом.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Концы линий суть точки.

4. Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.

И так далее, всего 34 определения.

Швейцарский геометр Ж. Ламберт (1728–1777) заметил по этому поводу: «То, что Евклид предпосылает в таком изобилии определения, есть нечто вроде номенклатуры. Он, собственно говоря, поступает так, как поступает, например, часовщик или другой ремесленник, начиная знакомить учеников с названиями орудий своего мастерства».

Геометрия Эвклида очень далеко ушла от «землемерия» благодаря своему абстрактному характеру и аксиоматическому построению. И все же она сильно отличается от современных построений эвклидовой геометрии.

Во-первых, как выяснилось впоследствии (в особенности в XIX веке), система аксиом Эвклида неполна. При доказательствах Эвклид пользовался некоторыми аксиомами, но не сформулировал их явно. Гильберт в своих «Основаниях геометрии» (1899 г.) существенно уточнил и дополнил систему аксиом Эвклида и создал такую систему, которая необходима и достаточна для построения геометрии.

Во-вторых, Эвклид наряду с подлинно логическими умозаключениями постоянно прибегает к наглядному представлению. Такие определения Эвклида, как «точка есть то, что не имеет частей», «линия есть длина без ширины», «линия ограничена точками», «поверхность имеет только длину и ширину» и др., строго говоря, не являются логическими определениями, а представляют собой лишь описания геометрических образов. Такие «определения» могут только оказать помощь наглядному представлению, а не служить надежным основанием для логических выводов. В аксиоматической геометрии Гильберта основные понятия (вещи: «точки», «прямые», «плоскости»; отношения: «принадлежит», «между») явно не определяются; их свойства определяются косвенно, через систему аксиом. Таким образом, Гильберт изгоняет из геометрии последние остатки наглядности и интуиции.

В-третьих, Эвклид сначала строил геометрию и лишь затем выводил из нее арифметику и теорию действительных чисел. Это объясняется, по всей вероятности, следующим обстоятельством. К тому времени была доказана несоизмеримость отрезков, т. е. тот факт, что возможны такие два отрезка (например, сторона и диагональ квадрата), на которых нельзя отложить целое число раз третий отрезок, сколь бы малым мы его ни брали. Это открытие произвело столь сильное впечатление на ученых древности, что Платон сказал по этому поводу: «До того, как я узнал о существовании несоизмеримых отрезков, я был подобен неразумному животному». Поскольку несоизмеримые отрезки нельзя выразить рациональными числами, но можно построить с помощью циркуля и линейки, древние начали переходить в своих исследованиях от вычислений к построениям. Гильберт, наоборот, строя свою геометрию, считает известной арифметику действительных чисел. Это позволяет ему сводить обоснование геометрии к понятию о числе.

Из всего сказанного видно, что геометрия Эвклида была еще далеко несовершенна. Это, однако, не умаляет заслуг ее автора, создавшего дедуктивный аксиоматический метод построения математики.

Формализация математики

Развитие естествознания и математики, начиная с XVII века, вызвало усиленный интерес к методам научного познания, к природе математических понятий и аксиом, к логике доказательства. Выражением этого интереса к методологическим вопросам математики явились и дискуссии о дискурсивном и интуитивном знании.

Под дискурсивным знанием обычно понимали знание рассудочное, опосредствованное, выводное, логическое. Под интуитивным - знание чувственное, непосредственное, созерцательное.

Тенденция к формализации математики породила тенденцию к уточнению определений и аксиом. Уже Лейбниц обратил внимание на то, что построение Евклидом равностороннего треугольника опирается на положение, которое из определений и аксиом не вытекает.

Рационалисты (Декарт, Мальбранш, Лейбниц, а в дальнейшем Фихте, Шеллинг и другие) утверждали, что идеи, в том числе и математические понятия, прирождены человеку, что источником истинного знания служит сам разум, в котором заранее заложены основы знания: аксиомы, законы логики и т. д. Задача разума заключается лишь в том, чтобы отыскать эти основы, превратить их в отчетливые мысли и из них путем логических умозаключений построить всю систему знаний.

Такой взгляд в значительной степени возник под влиянием колоссальных успехов математики того времени, которые приписывались исключительно чистому разуму.

Так, например, Лейбниц писал, что действительно разумное понимание основывается на некоторых необходимых или вечных истинах (истины логики, арифметики, геометрии), которые приводят к не вызывающему сомнения сочетанию идей и безошибочным заключениям.

Однако лишь создание неевклидовой геометрии Н. Лобачевским (1792–1856), И. Больяи (1802–1860) и К. Гауссом (1777–1855) повлекло за собой всеобщее признание аксиоматического подхода к математическим теориям как основного метода математики. Первоначально «воображаемая» геометрия Лобачевского, как и все «воображаемые» явления в математике, была встречена с недоверием и враждебностью.

Но вскоре неопровержимый факт существования этой геометрии стал менять точку зрения математиков на отношение между математической теорией и действительностью. Математик не мог отказать геометрии Лобачевского в праве на существование, ибо была доказана ее непротиворечивость. Правда, геометрия Лобачевского противоречила нашей геометрической интуиции, но при достаточно малом параметре кривизны пространства она в малых объемах пространства была неотличима от геометрии Евклида.

Эксперимент имеет дело не с геометрическими, а с физическими понятиями. При обращении к эксперименту мы вынуждены как-то интерпретировать геометрические объекты, например, считать, что прямые линии реализуются световыми лучами. Если мы обнаружим, что сумма углов треугольника, образованного световыми лучами, меньше 180, то это вовсе не значит, что геометрия Евклида «ложна». Быть может, она «истинна», но свет распространяется не по прямым, а по дугам окружностей или каким-либо другим кривым линиям. Выражаясь более точно, эксперимент этот покажет, что лучи света нельзя рассматривать как евклидовы прямые. Сама евклидова геометрия этим опровергнута не будет. То же относится, конечно, и к неевклидовой геометрии. Эксперимент может дать ответ на вопрос, является ли луч света воплощением прямой Евклида или прямой Лобачевского, и это, конечно, важный аргумент при выборе той или другой геометрии в качестве основы для физических теорий, но права на существование у той геометрии, которой «не повезло», он не отнимает. Быть может, ей повезет в следующий раз, и она окажется весьма удобной для описания какого-то другого аспекта действительности.

Подобные соображения привели к переоценке относительной важности природы математических объектов и их свойств (включая отношения как свойства пар, троек и т. д. объектов). Если прежде объекты представлялись имеющими независимое реальное существование, а их свойства - чем-то вторичным и производным от природы, то теперь именно свойства объектов, зафиксированные в аксиомах, стали той основой, которая определяет специфику данной математической теории, а объекты утратили всякую специфику и вообще утратили свою «природу», т. е. связываемые с ними в обязательном порядке интуитивные представления; в аксиоматической теории объект это нечто, удовлетворяющее аксиомам.

Создание Лобачевским, а затем Бойаи и Риманом неэвклидовых геометрий подорвавших веру в незыблемость таких «вечных» истин, как пятый постулат Эвклида, конструирование математиками различных систем аксиом для каждой математической дисциплины, создание многомерных геометрий, теории множеств, теории групп, топологии и т. д. Основательно подорвали рационализм, но не уничтожили его. Рационализм сочетается у отдельных математиков с априоризмом кантовского типа, с релятивизмом, с позитивизмом, с конвенционализмом и с другими направлениями и течениями идеалистической философии.

Так, выдающийся математик Кронекер, совсем в духе Декарта, утверждавшего, что истинные идеи вложены в наш разум всемогущим богом, заявлял: «Бог создал натуральные числа, все прочее - дело рук человека». А создатель теории множеств Георг Кантор считал, что «сущность математики в ее свободе», что математик по собственному произволу конструирует понятия и аксиомы.

Гениальный математик Гильберт, вслед за Кантом, отстаивал априоризм в математике: «Философы - и Кант является классическим представителем этой точки зрения - утверждали, - писал он, - что, кроме логики и опыта, мы имеем еще a priori известные знания про действительность... Я думаю, что и математические познания основываются, в конечном счете, на таком наглядном созерцании и что для построения теории числа нам даже необходимо определенное наглядное установление a priori».

Все эти примеры говорят о том, что математики практически никогда не были нейтральны в области философии. Да и занимать такую нейтральную позицию невозможно, если математик стремится осмыслить те процессы, которые происходят в ходе прогресса математики, если он задумывается над методами ее построения, над методами получения максимальных результатов.

Утверждение аксиоматического метода

Аксиоматический подход окончательно утвердился на рубеже XIX и XX вв. Интуиция, конечно, сохранила свое значение основного (и, пожалуй, единственного) инструмента математического творчества, но окончательным результатом творчества стала считаться полностью формализованная аксиоматическая теория, которая путем интерпретации может применяться к другим математическим теориям или к неязыковой действительности.

Философское определение истины относится к любым формам мышления и распространяется на положения любой науки. Следовательно, и в математике под истиной следует понимать, в конечном счете, соответствие ее теорий и положений (аксиом, определений, теорем и т. п.), с действительностью.

Понятие правильности и связанные с ним понятия доказуемости, обоснованности и выводимости играют очень важную роль в мышлении вообще и в математике в особенности. Если наши предпосылки верны, и если мы правильно применяем к ним законы мышления, то результат должен соответствовать действительности.

Так, например, если в основании какой-либо математической теории лежат аксиомы А, В(заведомо истинные положения) и если из этих аксиом при помощи достаточно надежных правил логики выведена теорема С, то мы можем с уверенностью утверждать, что она истинна.

Истинность системы аксиом тесно связана с ее непротиворечивостью: нельзя считать истинной ту систему аксиом, которая приводит к противоречиям, например к выводам типа 1=0.

Если система аксиом приводит к подобным выводам, то это означает, что не существует совокупности объектов, ей удовлетворяющих. Но если данной совокупности суждений (системе аксиом) не соответствуют никакие объекты, то она не является истинной.

Итак, требование непротиворечивости в математике в определенном смысле равносильно требованию истинности ее теорий. Поэтому ограничение, заключающееся в требовании непротиворечивости, является тем необходимым (но не достаточным!) условием, которое обеспечивает соответствие математических теорий с действительностью.

Непротиворечивость системы аксиом является важным условием истинности математических теорий. А если мы не знаем: противоречива или непротиворечива система аксиом? Будет ли она в этом случае надежным основанием для аксиоматического построения теории? Очевидно, нет.

Действительно, из такой системы аксиом можно вывести множество теорем и не столкнуться с противоречием. Однако «неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, не становится от этого менее неправильной, подобно тому как преступное поведение, не остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным» (Брауэр). Поэтому математики и уделяют особо большое внимание исследованию оснований математики, т.е. тех систем аксиом, которые кладутся в основу математических теорий.

В частности, огромное значение придается доказательству непротиворечивости системы аксиом.

Формалистический взгляд на истину противоречит многим фактам науки, в частности фактам, касающимся неполных математических систем. Система аксиом, описывающая данную систему объектов, называется полной, если из нее можно дедуктивно вывести все истинные суждения, относящиеся к данной предметной области. Если же некоторые истинные положения вывести из этой системы аксиом нельзя – система называется неполной. Поскольку, как показал Гёдель, такие неполные системы существуют, постольку существуют и истинные суждения, которые не выводимы из данной системы аксиом. С точки же зрения формалистов, такие суждения нельзя признать истинными, так как о них нельзя сказать, что они не противоречат принятой системе аксиом.

В действительности, суждение не потому истинно, что его можно вывести логически, а потому, что оно верно отражает действительность.

В современных аксиоматически построенных теориях не даются в явной форме определения ни самим объектам, ни их свойствам и отношениям. Но системы аксиом выделяют из всевозможных совокупностей объектов, свойств, принадлежащих им, и отношений между ними такие совокупности, для которых эти аксиомы выполняются и в этом смысле определяют их. Таким образом, как говорил Пуанкаре, аксиомы - это скрытые определения.

Те, объекты, свойства и отношения, которые выделяются данной системой аксиом, считаются «существующими» в данной аксиоматической теории; те же объекты, свойства и отношения, которые не выделяются этой системой аксиом, считаются «не существующими» в ней.

Возникает очень важный гносеологический вопрос: всегда ли найдутся в материальной действительности объекты, соответствующие «существующим» в данной аксиоматической теории абстрактным объектам, т. е. обязательно ли наша аксиоматическая теория будет отражать физическую реальность? Решить этот вопрос можно только при помощи критерия практики.

«Ясно, - говорит академик П. С. Новиков, - что соответствие между аксиомами и предметами реальности всегда имеет приближенный характер. Если мы, например, поставим вопрос - удовлетворяет ли реальное физическое пространство аксиомам геометрии Эвклида, то предварительно мы должны дать физические определения геометрических терминов, содержащихся в аксиомах, как-то: «точка», «прямая», «плоскость» и др. Иными словами, нужно указать те физические, обстоятельства, которые этим терминам соответствуют. После этого аксиомы превратятся в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке. После такой проверки мы можем ручаться за истинность наших утверждений с той степенью точности, какую обеспечивают измерительные приборы».

Однако не исключена возможность построения и такой теории, когда в материальной действительности не найдутся материальные объекты, которые могли бы быть описаны с ее помощью. Конечно, спешить отбрасывать ту или иную математическую теорию только потому, что пока для нее не находится объектов, которые могли бы быть описаны с ее помощью, не следует. Дальнейшее развитие техники, естествознания и самой математики может предоставить такие объекты.

Аксиоматически построенная формальная теория перестает быть гипотетической только тогда, когда для нее находятся содержательные интерпретации либо в виде объектов действительности, либо в виде теорий, уже нашедших применение в практике.

Самым мощным источником интерпретаций для всевозможных систем аксиом была и остается теория множеств, исходными объектами которой являются натуральные числа. Эта теория, построенная Георгом Кантором, оказала огромное влияние на развитие математики и сыграла особо важную роль в ее обосновании.

При помощи теоретико-множественных принципов можно построить все известные математические понятия и дать интерпретацию любым системам аксиом. Казалось бы, проблема обоснования математики решена. Однако вскоре обнаружились серьезные трудности, для понимания которых необходимо иметь представление об актуальной бесконечности и законе исключенного третьего.

Что такое «актуальная бесконечность»? Под этим термином, грубо говоря, понимается бесконечная совокупность объектов, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. Примером такой бесконечной совокупности может служить сосчитанный полностью натуральный ряд чисел».

А что такое закон исключенного третьего? Этот логический закон, запрещающий противоречия в мышлении, можно сформулировать следующим образом: два высказывания - А и не-А не могут быть одновременно истинными. Так, например, нельзя одновременно утверждать, что все натуральные числа до 10 четные и что некоторые из них нечетные.

Использование при логических операциях над такими объектами, как «актуальная бесконечность», закона исключенного третьего привело на крайних границах теории множеств к так называемым «парадоксам бесконечного» и поставило под сомнение аксиоматический метод в его классическом понимании.

Этих парадоксов было обнаружено много (парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора, Рассела и др.). Они были связаны с разрешением рассматривать множества, содержащие себя как подмножества, с понятием множества всех множеств и т. п.

Пример. Существует ли множество всех множеств? Формально множество считается заданным, если задан закон, по которому строятся его элементы. Но множество всех множеств должно включать в себя в качестве подмножеств множество своих подмножеств. Следовательно, его мощность не менее, чем мощность множества его подмножеств. Однако этот вывод находится в прямом противоречии с известной теоремой теории множеств, которая гласит: «Мощность множества всех подмножеств данного множества всегда больше мощности самого данного множества».

Другого рода противоречие заключает в себе понятие множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя (парадокс Рассела). В самом деле, зададимся вопросом: является ли это множество элементом самого себя? Если является, то, по определению самого множества, оно не должно входить в себя как элемент. Следовательно, положительный ответ на вопрос приводит к противоречию. Но к тому же противоречию приводит и отрицательный ответ: если наше множество не является элементом самого себя, то, по определению, оно должно входить в себя как элемент. Следовательно, на этот вопрос нельзя дать непротиворечивого ответа.

Популяризируя этот парадокс, Рассел (1919 г.) рассматривает деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он самого себя? Если бреет, то он нарушает условие, согласно которому он должен брить только тех, кто сам не бреется. Если не бреет, то он опять нарушает условие, так как он обязан брить тех, кто сам не бреется.

Парадоксы теории множеств показали, что она не является вполне надежным основанием для аксиоматического метода. Так называемое классическое (использующее понятие «актуальной бесконечности») направление в математике подверглось резкой критике со стороны Кронекера, Шатуновского, Бореля, Лузина и многих других математиков.

В связи с критикой классического направления в математике наряду с другими школами возник интуиционизм (Брауэр, Вейль, Гейтинг и др.). С точки зрения интуиционистов, главное в математике - это метод построения объектов. Объекты, которые не могут быть построены, исходя из натурального ряда, или для построения которых не может быть указан метод, не имеют права на существование в математике. Поэтому актуальная бесконечность и заменяется потенциальной бесконечностью, т. е. бесконечностью незавершенной, бесконечностью в процессе построения.

Преемники интуиционистов - сторонники конструктивного направления в математике (Д. А. Марков, Н. А. Шанин и другие) в решении вопросов обоснования и построения математики исходят из тех же основных предпосылок: отрицают актуальную бесконечность, ограничивают применение закона исключенного третьего, признают существующими лишь те объекты, которые фактически построимы или для построения которых может быть указан соответствующий метод.

Сторонники конструктивного (генетического) направления в математике заново построили многие ее разделы. Объектам их математики действительно присуще недвусмысленное существование, не приводящее к противоречиям. В результате их работ (а также работ их предшественников) стало ясным, что аксиоматический метод является не единственным методом построения математического знания.

Под воздействием обнаружившихся парадоксов теории множеств и критики со стороны интуиционистов, провозгласивших «кризис» оснований математики, Гильберт и его ученики предприняли ряд новых изысканий с целью обоснования классической математики. При этом Гильберт говорил (1928 г.): «Отнять у математиков закон исключенного третьего, - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками».

Одной из важнейших составных частей концепции Гильберта по основаниям математики явилась идея создания новой науки - метаматематики (или теории доказательств а), которая позволила бы анализировать формализованные аксиоматические системы и, в частности, решать относительно них вопросы непротиворечивости, независимости, разрешимости и т.д. При этом Гильберт определил круг понятий и методов которые не содержат сомнительных сторон теоретико-множественного мышления (так называемый финитизм Гильберта). Финитизм Гильберта исключает из употребления в метаматематике в основном тех понятий и средств, которые отвергаются интуиционистами в обычной математике.

Гильберт считал, что обоснования какой-либо математической теории можно достичь в том случае, если, используя методы математической логики, из некоторой системы аксиом вывести все возможные следствия и относительно каждого из них установить, что оно не противоречит другим.

Доказав в течение 1920-1930 годов непротиворечивость частных формализованных систем, охватывающих часть арифметики, Гильберт и его последователи (Аккерман, Бернайс, Эрбран, фон Нейман и др.) полагали, что они уже достигли цели и доказали не только непротиворечивость арифметики, но также и непротиворечивость теории множеств.

Однако результаты, полученные Гёделем в 1931 году, указали на принципиальные трудности на этом пути и, следовательно, на новые границы применимости аксиоматического метода. Гёдель доказал теорему о неполноте достаточно развитых формальных систем: в каждой такой системе можно сформулировать предложение, которое недоказуемо в ней, как недоказуемо в ней и его отрицание.

Так, например, если мы имеем систему аксиом А₁, А₂, ... А то в терминах этой системы аксиом можно сформулировать предложение В₀, которое нельзя доказать при помощи данной системы аксиом.

Но, может быть, можно к имеющейся системе аксиом добавить еще одну, например, A_n+1, которая позволит нам вывести В₀? Да, это возможно. Но тогда обязательно найдется еще хотя бы одно предложение B₁, которое невозможно доказать при помощи теперь уже расширенной системы аксиом.

Результаты, полученные Гёделем, доказали невозможность построения «всеобщей аксиоматической системы» не только для всей математики, но даже для ее отдельных разделов, например арифметики.

Конечно, теорема Гёделя вовсе не говорит о крахе аксиоматического метода. Потерпели крушение лишь надежды сформулировать такую систему аксиом, из которой можно было бы вывести все истинные предложения математики и логики.

Невозможность построить формальную аксиоматическую систему, которая явилась бы окончательным завершением математики и логики, лишний раз подтверждает, что положение диалектического материализма о неисчерпаемости абсолютной истины и о том, что движение познания к абсолютной истине возможно лишь через сумму относительных истин, распространяется и на математику.

Математическая теория не начинается с достоверностей в форме системы аксиом, по счастливой случайности пришедших в голову гениального математика. Она требует кропотливого аналитико-синтетического исследования уже возникших теорий, вычленения из них групп аксиом, всестороннего выяснения значимости каждой из них (например, путем исследования вопроса о том, какие положения теории теряют смысл в случае устранения или видоизменения той или иной аксиомы), выбора наиболее рациональной системы аксиом.

Нет ничего более чуждого аксиоматическому методу, чем статическая концепция науки. Структуры не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности; вполне возможно, что дальнейшее развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных структур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, можно заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была бы уже исчерпана.

Роль аксиоматического метода в науке

Если соединять факты некоторой специфической области более или менее исчерпывающим образом, то эти факты могут быть выстроены в определенном порядке. Этот порядок устанавливается неизменно с помощью некоторой понятийной структуры, такой, в которой существует связь между индивидуальными объектами данной области знания и понятиями структуры и между теми же фактами в данной области знания и логическими отношениями среди понятий. Понятийная структура есть ничто иное, как теория данной области знания.

Именно таким образом геометрические факты организуются в геометрию, арифметические факты - теорию чисел, статические, механические, электродинамические факты - в теорию статики, механики, электродинамики, а факты из области физики газов – в теорию газа. То же самое верно для областей знания термодинамики, геометрической оптики, элементарной теории излучения, передачи тепла или даже для теории вероятности и для теории множеств. Также хорошо это подтверждается в таких специфических областях чистой математики, как теория поверхностей, теория уравнений Галуа, теория простых чисел и даже в некоторых областях знания, лишь отдаленно связанных с математикой, таких, как определенные разделы психофизики или экономики.

В основании их понятийной структуры лежат именно те несколько предположений о данной области знания, которые достаточны для построения из них полной структуры знания в этой области в соответствии с логическими принципами.

Утверждение линейности уравнения плоскости, таким образом, является достаточным в геометрии, а то, что ортогональное преобразование координат точек достаточно для получения полноты обширного знания в геометрии евклидова пространства, показывается исключительно посредством анализа. Аналогично законы и правила вычисления для целых чисел достаточны для задания теории чисел. Такая же роль придается закону параллелограмма сил в статике, нечто подобное можно сказать и о дифференциальных уравнениях движения Лагранжа в механике; в свою очередь, уравнения Максвелла в электродинамике учитывают условия поведения электронов. Термодинамика полностью построена посредством задания понятия функции энергии и определения температуры и давления как проистекающих из их измерения, энтропии и объема. В центре элементарной теории излучения находится закон Кирхгоффа об отношении между излучением и поглощением; сходную роль играет закон Гаусса при вычислении вероятности, теорема энтропии как отрицательный логарифм вероятности событий в теории газа, представление элемента дуги квадратичной дифференциальной формой, теорема существования корней в теории уравнений, теорема распределения и частоты нулей дзета-функции Римана, являющаяся фундаментальной теоремой в теории простых чисел.

Рассматриваемые с обозначенных позиций, такие теоремы могут быть рассмотрены как аксиомы отдельных областей знания. Это означает, что успешное развитие отдельных областей знания основывается на значительном возрастании полноты понятийной структуры. Эти исходные позиции выделения теорем и методов как аксиом доминируют в чистой математике, и именно благодаря им столь мощно развились геометрия, арифметика, теория функций и анализ в целом.

В упомянутых случаях проблема построения отдельных областей знания получила свое решение, однако это решение было, так сказать, пробным (приблизительным). Но по мере дальнейшего развития любой науки становится все более необходимым целенаправленное выделение ее основополагающих предположений в чистом виде, осознания их в качестве аксиом и «помещение» их в «фундамент» данной области знания. Так произошло с «доказательствами» линейности уравнения плоскости и ортогональности преобразования, выражающего движение, с законами арифметических вычислений, с параллелограммом сил, с уравнениями движения Лагранжа и с законами Кирхгоффа излучения и поглощения, с принципом энтропии и с теоремой о существовании корней уравнения.

Но критическое рассмотрение этих «доказательств» заставляет прийти к выводу, что это еще не доказательства в собственном смысле слова, а скорее этапы продвижения к более глубинным предположениям (утверждениям), которые, в свою очередь, могут быть рассмотрены как аксиомы более основополагающие, чем те предположения (утверждения), которые имелись первоначально. Таковы, в частности, современные аксиомы геометрии, арифметики, статики, механики, теории излучения и термодинамики. Эти аксиомы есть «более глубоко лежащий пласт» чем предшествующие, непредумышленно найденные (первые) основания отдельных областей знания.

Механизм аксиоматического метода приводит к более глубоким основаниям знания, ибо это действительно необходимо для более совершенного его построения.

Аксиоматический метод в наше время используется во многих науках (логике, физике, химии, биологии, лингвистике и т. д.).

Пример из биологии. Дрозофила - это крохотная плодовая мушка, но наш интерес к ней велик; она стала объектом обширнейших, кропотливейших и успешнейших экспериментов по селекции. Обычно это мушка серого цвета, красноглазая, без пятен, с закругленными длинными крыльями. Но встречаются также желтые, а не серые мушки с белыми, а не красными глазами и т. д. Обычно пять перечисленных выше отличительных признаков взаимосвязаны, то есть если мушка желтая, то у нее к тому же белые глаза, она пятнистая, ее крылья имеют вырезы и скошены. Если у мушки косые крылья, то она к тому же желтая, имеет белые глаза и т. д. При подходящих скрещиваниях у потомства появляются в небольшом числе отклонения от этих обычных комбинаций признаков, причем в постоянной пропорции. Характеризующие такие отклонения числа находятся экспериментально. Они удовлетворяют евклидовой аксиоме конгруэнтности и аксиоме о геометрическом понятии "между", поэтому законы наследственности выступают как одно из приложений аксиом линейной конгруэнтности, то есть элементарных геометрических теорем об отрезках, откладываемых на прямой, причем с удивительной точностью.

В теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. Стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов.

Итак, древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода – геометрия Евклида. Геометрия Эвклида очень далеко ушла от «землемерия» благодаря своему абстрактному характеру и аксиоматическому построению. И все же она сильно отличается от современных построений эвклидовой геометрии.

Развитие естествознания и математики, начиная с XVII века, вызвало усиленный интерес к методам научного познания, к природе математических понятий и аксиом, к логике доказательства.

Аксиоматический подход окончательно утвердился на рубеже XIX и XX вв.

В математике под истиной следует понимать, в конечном счете, соответствие ее теорий и положений (аксиом, определений, теорем и т. п.), с действительностью. Однако не исключена возможность построения и такой теории, когда в материальной действительности не найдутся материальные объекты, которые могли бы быть описаны с ее помощью. Аксиоматически построенная формальная теория перестает быть гипотетической только тогда, когда для нее находятся содержательные интерпретации либо в виде объектов действительности, либо в виде теорий, уже нашедших применение в практике.

Следовательно, нет ничего более чуждого аксиоматическому методу, чем статическая концепция науки.

Механизм аксиоматического метода приводит к более глубоким основаниям знания, ибо это действительно необходимо для более совершенного его построения.

Список использованной литературы:

1. http://studnb.ru/logika/item/144-aksiomaticheskij-metod-i-ego-rol-v-nauke

2. http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/126/56126/27089?p_page=3

3. Бочаров В. А., Маркин В. Ш. Основы логики. – М., 2007.

4. Гетманова А. Д. Учебник по логике. – М., 1995.

5. Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Л., 1948.

6. Ивлев Ю. С. Учебник по логике. – М., 1999.

7. Маслов Н. А. Логика. Учебник для вузов. – М., 1998.

8. Методологический анализ оснований математики. / Отв. ред. М. И. Панов. - М., 1988.

9. Челпанов Р. И. Учебник по логике. – М., 2001.

Код для цитирования: Скопировать