VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………..…..2

Глава I. Применение производной в практической деятельности……………………….….3

§1. Геодезия…………………………………………………………………………....3

§2. Транспорт…………………………………………………………………...……...3

§3. Мелиорация………………………………………………………………..……....4

§4. Строительство………………………………………………………………….….5

§5. Деревообработка………………………………………………………………..…6

ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ……………………………..………………7

§1. Понятие производственной функции…………………………………………….7

§2. Изокванта…………………………………………………………………….….…8

§3. Изокоста………………………………………………………………..…………..9

§4. Постановка и решение основной задачи……………………………….………11

§5. Примеры задач…………………………………………………………….….….12

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕРАВЕНСТ………….……..…..14

§1. Несколько простых примеров……………………………………………….…..14

§2. От числовых неравенств – к функциональным…………………………..…….15

§3. Неравенства с несколькими переменными………………………………..……15

§4. Доказательство неравенств Гюйгенса……………………………...……..…….17

Заключение………………………………………………………………………….…………19

Литература………………………………………………………………………………….….20

Введение

В процессе изучения производной в школьном курсе математики рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако сфера производной применения этим не ограничивается. Например, существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления.

Метод нахождения экстремальных значений функции имеет важнейшее, ключевое значение для решения большого класса задач из разных разделов курса физики, математики, экономики и других наук. Специфика этих задач включает получение на основе некоторых физических и математических закономерностей функциональной зависимости и нахождение экстремального значения. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Цель: исследовать применение производной в различных областях науки и техники.

Задачи: 1)рассмотреть применение производной в практической деятельности;2) подбор физических и экономических задачи на экстремум; 3) показать применение производной к выяснению истинности неравенств.

Методы исследования: анализ и решение, сравнение результатов с реальной действительностью.

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными.

ГЛАВА I. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

§1. Геодезия

В «Геометрии 6-9» указан способ определения высоты предмета с помощью угломерных инструментов. При типографических съемках местности аналогичный приём используется для определения превышения одной точки земной поверхности над другой. Этот способ дает хороший результат, если рассматриваемые точки находятся на незначительном расстоянии. В противном случае начинает сказываться кривизна Земли и возникает существенная погрешность.

Если расстояние между точками B и C достаточно велико, то к найденному (с помощью угломерных инструментов) значению повышения точки B над точкой C прибавляют так называемую поправку на кривизну Земли: , где R – радиус Земли, l – длина горизонтальной проекции отрезка BC.

Докажем указанную выше формулу для поправки . Рассмотрим рис. 1, на котором штрихами изображена поверхность океана, точка O – центр Земли. Пусть точка C лежит на поверхности океана, а точка B принадлежит горизонтальной плоскости, проходящей через точку C. Так как в таком случае угол между лучом CB и горизонтальным направлением (оно определяется с помощью отвеса) равен нулю, то из точки C нам покажется, что точки B и C имеют одинаковую высоту. Согласившись с этим, мы допустим погрешность .

Величина l относительно мала по сравнению с R. Поэтому для вычисления можно воспользоваться приближенной формулой , полученной (с помощью производной) в «Алгебре и начал анализа10-11». Положив в этой формуле , , мы получим указанное выше выражение для .

§2. Транспорт

В практике проектирования сети автомобильных дорог часто возникает необходимость устройства узла разветвления. Местоположение узла и взаимное расположение проходящих через него дорог определяется комплексом экономических и географических условий, но первый, предварительный этап решение этой задачи учитывает лишь затраты рабочего времени на перевозки, причём в качестве вспомогательной решается вначале следующая задача.

Каким должен быть угол примыкания (рис. 2) дороги (CE) к автомагистрали (AB), чтобы затраты времени на перевозки по маршруту AEC были наименьшими, если скорость движения автомобилей по магистрали планируется равной, а по объездной дороге – ()? Проведем через точку C перпендикуляр к прямой AB и обозначим длину отрезка CD через h, а длину отрезка AD через l. Тогда получим: , . Отсюда находим время движения автомобиля по маршруту AEC: . Так как точка A зафиксирована условно, определяя лишь направление движение по магистрали, то может изменяться в промежутке . Задача свелась к отысканию наименьшего значения в промежутке значения функции на указанном промежутке.

Найдём производную . Так как , то производная на рассматриваемом промежутке обращается в нуль лишь в одной точке , причём при и при . Это означает, что на промежутке функция t убывает, а на промежутке возрастает. Следовательно, рассматриваемая функция t при достигает наименьшего значения.

§3. Мелиорация

Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено, что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес расчет гидравлически наивыгоднейшого профиля для каналов такой формы.

При каком отношении глубины к ширине канал прямоугольного сечения имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? Пусть x – ширина канала, – его живое сечение. Тогда глубина канала , а его смоченный периметр (рис. 3): .

Требуется найти наименьшее значение функции на промежутке . Найдем производную: . Так как , при и при , то функция в точке достигает наименьшего значения.

Итак, ширина канала в рассматриваемом случае должна быть , глубина , а искомое отношение равно 0,5.

Сечение канала – равнобедренная трапеция (рис. 4) с углом откоса таким, что . При каком отношении ширины дна канала к его глубине он имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? Пусть ширина дна канала b, а его глубина h. Тогда , , (1), . Из (1) получаем, что , а значит (0 < h). С помощью производной находим, что функция достигает наименьшего значения на промежутке при .

Искомое отношение: .

Сечение канала – сегмент (рис. 5). Каким должен быть центральный угол , чтобы канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль? Пусть R – радиус круга. Живое сечение канала найдем как разность площадей сектора и треугольника: . Отсюда получаем, что , и значит, смоченный периметр .

Исследуем более простую функцию . При имеем . Так как и на рассматриваемом интервале, то производная на определена и отрицательна. Поэтому функция f, а значит, и убывает на . В силу непрерывности функции на промежутке заключаем, что убывает и на таком промежутке. Следовательно, функция достигает наименьшего значения при . В сечении канала должен быть полукруг.

§4. Строительство

При монтаже промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные о сооружаемом объекте. В частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Рассмотрим эту задачу.

Вывести формулу для определения длины стрелы автомобильного крана, с помощью которого можно поставить здание H и ширины 2l с плоской крышей. Так как автомобильный кран может перемещаться вокруг всего здания, то крюк его крана достанет до любой точки здания, если он достает (рис. 6) до середины крыши (имеется в виду середина по ширине).

Рассмотрим кран, который, находясь в точке O, подает деталь на середину крыши. Пусть угол наклона стрелы при этом составляет . Тогда ; , где – высота подвеса стрелы крана. В таком случае (2).

Из формулы (2) видно, что для совершения указанной работы краном, установленным в другой точке (ближе к зданию или дальше от него), потребуется кран с другой длиной стрелы, поскольку при таком перемещении меняется угол . Определим наивыгоднейшее место установки крана, т.е. такое место, с которого заданная работа может быть выполнена краном с наименьшей длиной стрелы. Для этого достаточно определить, при каком из промежутка функции l принимает наименьшее значение.

Найдем производную функции l: .

Рассуждая теперь так же, как и при решении задачи из §2, находим, что функция lдостигает наименьшего значения при (3).

Найдя из формулы (3) значение и подставив в формулу (2), мы получим наименьшее возможное значение длины стрелы. Эти формулы и используются на практике.

§5. Деревообработка

Важное народнохозяйственное значение имеет рациональный раскрой древесины. Комплексное решение таких задач требует применение довольно глубоких методов классической и современной математики. Однако отдельные задачи такого рода можно решить, используя только производную.

На лесопильных рамах (они предназначены для продольного пиления) бревна часто распиливают на квадратный брус и четыре доски (рис. 7) с максимально возможной площадью поперечного сечения. Какой должна быть расстановка пил для такой распиловки? Из рис. 7 видно, что для ответа на вопрос задачи достаточно определить толщину выпиливаемых досок. Так как сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса r, равна , то . Пусть толщина доски . Тогда ее ширина, а площадь поперечного сечения .

Требуется узнать, при каком xиз отрезка функция S достигает наибольшего значения. Найдем производную: . Критическая точка . Так как , а , то доски толщиной 0,1d имеют наибольшую площадь поперечного сечения.

ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

В процессе обучения производной в школьном курсе математики рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако сфера применения производной этим не ограничивается. Например, существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления. В этой главе мы рассмотрим пример приложения производной в экономике; проанализируем производственные функции, широко используемые в современных экономических исследованиях.

§1. Понятие производственной функции

Производство любого продукта связано с потреблением большого числа различных ресурсов. Обычно величины этих ресурсов обозначают так , , …, . Если нам известно, какое максимальное количество продукта у мы получим, истратив ресурсы в объемах (, , …, ), , , …, , то говорят, что задана производственная функция, и пишут (4).

Число переменных производственной функции равно количество ресурсов, необходимых для изготовления продукта у. Функция (4) зависит от п переменных.

Ресурсы производства и окончательный продукт могут измеряться в различных единицах: натуральных (тонны, штуки, метры и т.д.) или в стоимостных (рубли, доллары и т.д.). Мы будем в дальнейшем оперировать и теми и другими.

Большое число реальных переменных, от которых зависит производственная функция, очень осложняют их использование. Поэтому экономисты все ресурсы разбивают на два класса. Один из них называют «труд» и обозначают буквой L (от английского Labor), второй называют «капиталом» и обозначают буквой K. Труд – это физические и интеллектуальные затраты, применяемые для производства товара, капитал – оборудование, инструменты, здания, сооружения, материальные запасы, жилой фонд, компьютерное обеспечение, земельные площади и т.д.

Обозначим через Q величину выпуска продукции. Тогда производственная функция примет вид , , . Она показывает максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурсы труда и капитала расходуются в объемах L и K.

Одну из первых производственных функций предложили в 1928 г. американские ученые К.Кобб и П.Дуглас, которые обобщили десятилетние статистические данные по сталелитейной промышленности США и получили производственную функцию . С тех пор эту и более общие степенные функции вида , , называют производственными функциями Кобба-Дугласа.

Производственные функции должны обладать рядом свойств.

1. При отсутствии хотя бы одного ресурса K или L производство невозможно, т.е. .

2. Увеличение использование ресурсов в t раз должно приводить к увеличению в t раз объема выпуска окончательного продукта, т.е. .

3. При увеличении количества используемых ресурсов возрастет объем выпуска окончательного продукта.

4. Увеличение затрат лишь одного производственного ресурса K или L приводит к снижению эффективности его использования.

§2. Изокванта

Пусть производственная функция имеет вид (5).

Предположим, что руководство фирмы приняло решение выпустить 640 единиц продукции. Подставим это значение Q в уравнение (5) и получим равенство (6). Теперь мы можем выразить K как функцию от L: , , (7).

Отсюда следует, что формула (6) устанавливает связь между величинами K и L при условии, что объем выпуска равен 640 единицам.

Записав зависимость K от L, узнаем в ней обратную пропорциональную зависимость, и графиком является гипербола – эскиз графика этой функции (рис. 8). По условию L и K неотрицательны, и поэтому график строится только в первой четверти координатной плоскости.

Если для изготовления продукта мы будем брать ресурсы в таких объемах K и L, что точка (K, L) будет лежать на кривой , то объем выпущенной продукции будет постоянным и равным 640 единицам.

Если же фирма изменит объем выпуска и пожелает, например, Q = 960 единиц продукции, то уравнение соответствующей изокванты будет иметь вид . График этой функции изображен на рис. 8 пунктиром.

Поскольку для каждой точки на кривой объем выпуска постоянен, то эти кривые называются изоквантами (от латинских слов iso – ровный, quant – количество), или линиями ровного выпуска.

Из курса физики известны и другие изо-кривые: изотермы – линии постоянной температуры, изобары – линии постоянного давления, изохоры – линии постоянного объема и т.д.

Проведем теперь рассуждения в общем случае. Пусть (7). Положим и выразим K через L. Имеем: или . Из последнего равенства получаем соотношение , которое является уравнением изокванты .

Изокванты, представляющие различные уровни выпуска продукции для одной и той же производственной функции, имеют вид, изображенный на рисунке 9. Совокупность всех изоквант называют полем изоквант.

Все изокванты выпуклы, не пересекаются между собой и через точку плоскости, лежащую в первой четверти, проходит единственная Изокванта. На рис. 9 схематически изображены изокванты для значений .

§3. Изокоста

Введем второе важнейшее понятие – понятие изокосты.

Любые точки, лежащие на изокванте и представляющие различные сочетание ресурсов L и K, «эквивалентны» с точки зрения обеспечения выпуска единиц продукции. Однако с точки зрения финансовых затрат данные способы производства причины, так как различны цены услуг единиц труда и капитала.

Пусть денежных единиц – цена единицы труда (L), а r денежных единиц – цена единицы капитала (K), тогда стоимость способа, при которой будет затрачено L единиц труда K единиц капитала, будет равна: (7).

Рассмотрим производственную функции и ее изокванту , отвечающую значению единиц. На изокванте рассмотрим четыре точки, соответствующие следующим затратам капитала K и труда L: , , и ; , , и .

L	1	4	8	25
K	16	4	2	0,64
C	333	132	144	337,8

По формуле (7) вычислим стоимость каждого выпуска, если цена единиц труда денежных единиц, а цена единиц капитала денежных единиц. Результат занесем в таблицу.

Очевидно, что из всех рассматриваемых случаев производство 640 единиц продукции будет самым дешевым (равным 132 денежным единицам) при затратах L = 4 и K = 4. А самым дорогим (равным 337,8) будет способ производства при L = 25 и K = 0,64.

Выберем некоторое значение стоимости выпуска и поставим следующую задачу: каким условиям должны удовлетворять затраты труда L и капитал K, чтобы стоимость выпуска была всегда раной . При фиксированных ценах и r за единицы труда и капитала искомые значения L и K на основании соотношения (7) должны удовлетворять равенству , или . Это уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Каждая точка , лежащая на прямой , обладают следующим свойством: ее координаты L и K таковы, что стоимость выпуска не меняет своего значения и всегда равна . Поэтому прямую или в экономике называют изокостой (от латинских слов iso – «равный», costes – «цена»), или линией постоянной стоимости.

Рассмотри конкретный пример. Пусть стоимость единицы труда , а единица капитала r = 4. Нужно написать уравнение изокост, отвечающих значениям: а) ; б); в) , и построить изокосты на одном чертеже.

а) В уравнении подставим значения , r = 4, . Тогда ; б) при ; в) при . Эти изокосты построены на рис. 10.

Из рассмотренных свойств вытекает, что через каждую точку первой четверти проходит единственная изокоста, не пересекающаяся с другими изокостами. Геометрическая иллюстрация приведена на рис.11, где и .

§4. Постановка и решение основной задачи

Перейдем к рассмотрению случая, когда фирма, производственная функция которой имеет вид , предлагает выпустить единиц окончательной продукции. Как уже видели, существует множество способов добиться этого: любая точка, лежащая на кванте , «обеспечит» заданный выпуск, однако при фиксированных ценах на труд и капитал стоимости таких выпусков будут различны. Поставим вопрос о нахождении на изокванте такой точки (L,K), для которой стоимость выпуска будет наименьшей по сравнению со стоимостью любого другого набора , лежащего на этой же изокванте.

Для её решения совместим на рис. 12 рассматриваемую изокванту и поле изокост, соответствующих различным значениям стоимости выпуска.

Этот рисунок показывает, что если на выпуск единиц продукции мы готовы заплатить денежных единиц, то это можно сделать либо при затратах ресурсов (точка A на рис. 12), либо при затратах ресурсов (точка B). Однако денежных единиц не является наименьшей стоимостью, обеспечивающей выпуск единиц продукции: можно взять изокванту, соответствующую значению , и расходу ресурсов (точка R) и (точка S), которые также обеспечат выпуск единиц продукции, причем стоимость их выпуска оказывается меньше, чем .

Если мы уменьшим затраты на выпуск до значения , то увидим, что изокоста не пересекается с изоквантой . Это означает, что любой выпуск единиц продукции требует больших затрат, чем . Теперь становится понятно, что только изокоста , касающаяся в точке , показывает наименьшую стоимость затрат на производство единиц продукции, которая равна .

Используем тот факт, что точка лежит на изокванте и поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению изокванты : .

Кроме того, точка M лежит на изокосте и поэтому выполняется равенство .

И последнее – в точке должны быть равны между собой угловой коэффициент изокосты и угловой коэффициент касательной к изокванте , проведенной в точке M. Для его нахождения выразим из уравнения изокванты величину K как функцию от .

Для этого из уравнения изокванты выразим K: .

Теперь угловой коэффициент касательной, проведенной к изокванте в точке , будет равен (7).

Условием того, что изокоста будет параллельна касательной к изокванте в точке , является равенство , т.е. , где величина определена равенством (7).

Теперь для нахождения трех величин ; ; получаем систему уравнений: (8).

Когда в качестве производной функции выступает функция Кобба-Дугласа, система (8) имеет единственно положительное решение.

§5. Примеры задач

Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид . Фирма решает выпустить единиц продукции при ценах на услуги труда и капитала денежных единиц и r = 10 денежных единиц соответственно. Найти самую низкую стоимость выпуска единиц продукции.

Решение. Производственная функция является функцией Кобба-Дугласа при a = 1,2; ; ; ; r = 10. Из уравнения выразим K: ; ; или . Далее: . Система имеет вид: .

Из первого уравнения следует, что , поэтому .

Из второго уравнения находим : , откуда, возведя в куб, имеем , т.е. , .

Из последнего уравнения определяем наименьшую стоимость : (денежных единиц).

Задача 2. Производственная функция отрасли имеет вид . Отрасль предлагает выпустить 16 единиц продукции при ценах на услуги единиц труда и капитала 240 денежных единиц и 5 денежных единиц соответственно. Найти наименьшую стоимость выпуска 16 единиц продукции.

Решение. Имеем: a = 0,5; ; ; r = 5; . Из уравнения определим K: ; ; или .

Вычислим : .

Система (8) имеет вид:

Из первого уравнения системы следует, что .

Из второго уравнения находим .

Из третьего уравнения получаем (денежных единиц).

Математики изучают лишь математические модели экономики, которые проще самого экономического процесса. Тем не менее полученные результаты представляют большой интерес для экономики, так как существуют методы, позволяющие их уничтожить и улучшить.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕРАВЕНСТ

Теорема 1. Если функция на некотором интервале имеет производную и всюду на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно убывает. Если дополнительно известно, что непрерывна на отрезке (или на полуинтервале , или на ), то возрастание (убывание) имеет место на соответствующем множестве (или , или ).

§1. Несколько простых примеров

Пример 1. Пусть . Доказать неравенство .

Решение. Рассмотрим на функцию . Найдем её производную: . Видим, что при . Следовательно, на убывает, так что при . Но , . Следовательно, неравенство верно.

Пример 2. Проверьте справедливость следующего утверждения: если x > 2, то .

Решение. Рассмотрим функцию . Найдем ее производную: .

Отсюда видно, что при x > 2 имеем , т.е. .

Итак, проверяемое утверждение справедливо.

Пример 3. Известно, что если числа и заключены между 0 и и , то . Верно ли неравенство ?

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию . Имеем при . Следовательно, на возрастает, и поэтому при , т.е. проверяемое неравенство верно.

Пример 4. Пусть p и q – положительные числа, . Тогда, очевидно, , . Можно ли гарантировать, что неравенство верно а) при ; б) при ?

Решение. а) Рассмотрим функцию . Имеем: . Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале . Поэтому при проверяемое неравенство справедливо.

б) На интервале , т.е. убывает. Поэтому при любых p и q, для которых , проверяемое неравенство неверно, а верно неравенство противоположного смысла .

§2. От числовых неравенств – к функциональным

Иногда требуется решить задачу, которая связана с числовыми неравенствами и в условии которой о дифференцируемых функциях нет речи; и тем не менее в подобной ситуации нередко оказывается выгодным перейти к подобранной «функциональной» задаче, которая решается с помощью производной и из ее решения уже следует решение исходной задачи.

Пример 5. Что больше: или ; или ; или ; или ; или ?

Решение. Все эти задачи сводятся к такой вспомогательной функциональной задаче.

Если , то при каких условиях верно неравенство (1), а при каких условиях верно неравенство ? Неравенство (1) равносильно таким неравенствам: , .

Рассмотрим вспомогательную функцию (2) и выясним, в каком промежутке она будет возрастать. Имеем . Понятно, что при и при . Поэтому функция (2) возрастает на и убывает на . Иными словами, если , то , ; если же , то , . Значит, , но , , , .

Заметим, что мы не получили исчерпывающего решения поставленной выше вспомогательной функциональной задачи: при , эта задача не решена. Однако и неполное решение вспомогательной задачи оказывается достаточным для получения ответа на все поставленные выше «исходные» вопросы, касающиеся сравнения чисел.

§3. Неравенства с несколькими переменными

Рассмотрим задачу:

Пример 6. Выяснить, что больше при : или . Решение. Нам предстоит сравнить с числом 1 дробь . Рассмотрим на вспомогательную функцию . Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную. После упрощений получим: при . В силу теоремы 1 функция возрастает на отрезке . Поэтому при , т.е. , при .

Пример 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных a, b, c неравенство (3).

Решение. Пусть . Рассмотрим функцию . При имеем . Отсюда видно, что убывает на . Поэтому при имеем , т.е. мы получили неравенство (4). Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем: . Следовательно, убывает на , т.е. при , значит, (5). Из (4) и (5) следует (3).

Примечание. Обратим внимание на то, что из (3) следует: при любом выборе положительных чисел x, y, z . Для доказательства достаточно заметить, что можно считать и что можно подобрать числа a, b, c так, чтобы , , ; затем привлекаем (3).

Для выяснения истинности неравенства иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка c из , что на и на . Тогда при любом x из справедливо неравенство , причем равенство имеет место лишь при .

Пример 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных x следующее неравенство: .

Решение. Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную . Отсюда видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 2 , т.е. справедливо проверяемое неравенство, причем равенство имеет место лишь .

Пример 9. Пусть a, b, p, q – положительные числа и (6). Проверить справедливость неравенства .

Решение. Данное неравенство равносильно такому , т.е. (7).

Рассмотрим на вспомогательную функцию и выясним, где она возрастает, а где убывает. . В силу (6) имеем , и поэтому . Отсюда имеем, что при и при . Поэтому функция на убывает, а на возрастает. Следовательно, на функция принимает свое наименьшее значение при . Поэтому , причем равенство возможно лишь при , т.е. .

Учитывая (6), нетрудно посчитать, что , следовательно, справедливо неравенство (7), а значит, и проверяемое неравенство.

§4. Доказательство неравенств Гюйгенса

Для нахождения приближенных значений числа геометры со времен Архимеда до середины XVII века пользовались неравенствами (8), где C – длина окружности, и - периметры правильных n-угольников, соответственно вписанного в эту окружность и описанного около нее.

В 1654 г. 25-летний голландский математик и физик Христиан Гюйгенс в тракте «О найденной величине круга» указал более точные границы, между которыми длина окружности, и тем самым дал более совершенный способ для нахождений приближений числа . Вот эти неравенства Гюйгенса: (9), (10). Гюйгенс показывает, что при одном и том же n неравенства (10) позволяют найти примерно втрое большее число верных десятичных знаков числа , чем можно получить с помощью неравенств (8). Доказательство неравенств (9) и (10) было проведено Гюйгенса с помощью тонких и остроумных чисто геометрических рассуждений (которые весьма интересны и сами по себе). Аппарат дифференциального исчисления, разработанный Ньютоном, Лейбницем и другими математиками еще при жизни Гюйгенса, позволяет получить во много раз более короткие и более простые доказательства неравенств (9) и (10).

Пусть R – радиус окружности. Тогда , , ; неравенства (10) принимают вид (если положить ради краткости ): . Или после упрощений: (11). Мы докажем, что неравенства (11) верны для всех чисел из (а не только для чисел вида ). После элементарных преобразований видим, что нам предстоит доказать следующие два неравенства (при ): (12), (13).

Доказательство неравенства (12). Рассмотрим на функцию (14). Найдем на : . Следовательно, убывает на , так что при имеем , т.е. (15).

Доказательство неравенства (13). Рассмотрим на функцию . Если покажем, что на возрастает, то получим, в частности, при , т.е. (13) будет доказано.

Вычислим и выясним, будет ли на . . После элементарных упрощений находим (см. (14)) , где определяется формулой (14). Так как при (см. (15)), то при , т.е. возрастает на . Поэтому при . Но это означает, что неравенство (13) справедливо.

Заключение

Математика служит основой естественных и технических наук, без нее ныне не мыслима ни одна современная технология. Кроме того, математика активно внедряется в экономику. Приступая к данному исследованию, мы ставили перед собой задачу: применение производной на нахождение экстремальных значений функции в различных областях практической деятельности. Для этого:

• были выбраны задачи из сборников задач по физике и подготовке к единому государственному экзамену, в которых требовалось найти наименьшее или наибольшее значение;

• выполнено решение подобранных задач;

• выполнена классификация задач по разделам физики, математики и экономики.

Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако, мы попытались раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. В данной работе показано решение таких задач.

Литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 классы, М., Просвещение, 2003.

2. Балк М.Б. Применение производной к выяснению истинности неравенств. – Журнал «Математика в школе», №6, 1975, с. 47-53.

3. Беденко Н.К., Вольдман М.С. Некоторые задачи с техническим содержанием по теме «Производная и ее применениеехническим содержанием поноических задач ости000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000». – Журнал «Математика в школе», №5, 1975, с. 49-52.

4. Бодрякова Н.О., Рыб К.А. Физические задачи на экстремум функции. – Журнал «Математика в школе», №3, 1993, с. 15-20.

5. Игнатьева Н.П., Симонов А.С.. Об одном приложении производной к решению экономических задач. – Журнал «Математика в школе», №9, 2001, с. 42-48.

6. Москалев А.Н., Никулова Г.А. Готовимся к единому государственному экзамену. Физика. М., Дрофа, 2007.

7. Петров В.А, Чертков В.С. Применение производной в практической деятельности. – Журнал «Математика в школе», №6, 1980, с. 30-32.

8. Рымкевич А.П. Физика. Задачник 10-11 классы. М., Дрофа, 2007.

 

21

 

Код для цитирования: Скопировать