VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Каждый реально существующий или абстрактный предмет в нашем мире описывается математическими формулами и законами. Мы сталкиваемся с этим фактом с самого начала изучения нами различных естественных наук в школе – на уроках физики, химии, биологии и т.д. Продолжая углубляться в естественные дисциплины, мы видим, что все более сложные объекты, явления и процессы по-прежнему удобно и понятно описываются с помощью средств математики. Отсюда и вытекают вопросы, которые будут рассмотрены в данной статье: почему с помощью математических теорий удается адекватно описывать физическую реальность? Как рационально объяснить «непостижимую объективность» математики в физике и других естественных науках?

Обозначенная проблема – проблема непостижимой эффективности математики – была названа проблемой Вигнера в честь известного американского физика и математика венгерского происхождения Юджина Вигнер [2]. Именно он впервые четко сформулировал данную проблему в своей статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» в 1960 году, высказав свою позицию относительно этого вопроса. Вигнер заявлял, что в качестве источника физических понятий лучше всего подошли бы биология и сознание в том смысле, в котором человек их воспринимает; тот факт, что математика и физика так хорошо соответствовали друг другу долгое время, является счастливым совпадением, которое трудно объяснить.

Заявленная проблема крайне интересна и актуальна для современного научного и технического сообщества, потому что в настоящее время все больше и больше людей каждый день сталкивается с математическими моделями реальных физических явлений не только в науке, но в и промышленности, например, при разработке программного обеспечения. Математика очень тесно вошла в повседневную жизнь современных людей, особенно связанных с технической деятельностью, даже если они зачастую и не замечают этого. Именно поэтому представляется важной попытка поиска ответов на вопросы, поставленные проблемой Вигнера.

Тезис Юджина Вигнера о том, что близкое и точное соответствие физики и математики является случайным совпадением, не является неоспоримым. Математика является главным источником физических понятий даже в условиях современной науки, когда, казалось бы, многие изучаемые явления настолько сложны, что не поддаются описанию средствами классической математики. Понимание того, почему математика является такой объективной в современных физических и естественных науках приведет к еще более эффективному ее использованию, а, следовательно, к научному прогрессу. Для обоснования данной позиции сначала необходимо рассмотреть историю вопроса.

Для того чтобы разобраться во взаимоотношении математики с естественными науками, необходимо заглянуть в историю использования математических теорий для описания физических объектов и явлений. До середины XIX века все основные математические понятия (прежде всего – число и геометрическая величина) имели четкие и однозначные физические интерпретации. Именно такие интерпретации и стали основой классических физических теорий Галилея и Ньютона. Хотя впервые проблемы с интерпретациями математических понятий возникли еще в XVII веке – речь идет и мнимых величинах в алгебре и идеальных элементах в проективной геометрии [3]. Но наличие таких проблем не меняло положение дел в целом.

Один из подходов к описанию взаимодействия физики и математики предложил Иммануил Кант в своем труде «Критика чистого разума» в XVIII веке. Опираясь на современную физику Ньютона, которая впоследствии будет названа классической, Кант выдвинул идею о том, что математика является деятельностью по представлению (конструированию) понятий с помощью априорных интуиций пространства и времени, а физика – опытное (апостериорное) представление физической реальности математическими средствами [5].

Идея Канта считалась правильной и адекватной до тех пор, пока не получила свое широкое научное признание неевклидова геометрия. Сама возможность существования целого класса неевклидовых пространств наряду с евклидовым – ставила под сомнение основы теории Канта. Она вызывала вопрос: какое из этих неевклидовых геометрических пространств отождествлять с реальным физическим? Некоторые ученые предлагали решать этот вопрос с помощью эмпирических наблюдений. Но с точки зрения Канта, идея эмпирической проверки геометрических свойств физического пространства является абсурдной, так как пространство является априорной интуицией, а не чувственно воспринимаемым предметом.

В 1899 году Давид Гильберт в «Основаниях геометрии» опубликовал аксиоматическую теорию. Согласно этой теории, ее аксиомы являются не фундаментальными истинами, принимаемыми без доказательств, а логическими схемами высказываний, которые могут порождать истинные или ложные высказывания при различных семантических интерпретациях [6]. Более того, этот метод оказался применим как для евклидовых, так и для неевклидовых и других математических пространств.

Таким образом, видно, что классический тип синтеза физики и математики, предложенный Ньютоном и лежащий в основе философии науки Канта, на рубеже XIX и XX веков перестал соответствовать требованиям текущей ситуации в математике. Это произошло еще до создания теории относительности и квантовой теории в XX веке. Возможно, именно поэтому Вигнер называл эффективность математики в естественных науках «непостижимой».

Почему же классическая математика остается эффективной в настоящее время? Одно из обоснований эффективности описания реальных объектов и явлений с помощью математических понятий приводит в своей статье «Программный реализм в физике и основания математики» российский методолог Андрей Вячеславович Родин [3]. Данное обоснование содержит в основе понятие конструктивной идеализации: всякая элементарная арифметическая операция и всякая евклидова геометрическая конструкция является осуществимой.

Для более детального понимания этого принципа необходимо рассмотреть два аспекта, составляющих каждую математическую операцию: семантика и синтаксис. Семантика арифметической операции в данном контексте представляет собой реальные манипуляции над физическими предметами. Семантика, которая подразумевает наличие манипулятора, выполняющего физические операции, и объектов, над которыми эти операции выполняются, называется реальной. Синтаксис же арифметической операции представляет собой набор знаков и символов, с помощью которых эта операция может быть адекватно описана.

Отсюда вытекают и два аспекта осуществимости арифметической операции, указанной в принципе конструктивной идеализации, – синтаксическая и семантическая осуществимость. Синтаксическая осуществимость напрямую зависит от выбранной для операции системы счисления. Например, система счисления, основанная на счетных камешках, имеет узкое применение по синтаксической осуществимости, так как даже операции с десятками уже вызывают затруднения при записи.

Многие другие системы счисления: десятичная, например, синтаксически избыточны. Это значит, что возможности данной системы счисления позволяют описывать такие арифметические операции, для реального физического выполнения которых недостаточно всех объектов, имеющихся во вселенной. Именно этот факт является причиной наличия дополнительной или идеальной семантики арифметических операций. Данная семантика подразумевает возможность проведения манипуляций над абстрактными воображаемыми объектами в случае, если проведение манипуляций над реальными объектами невозможно.

Абсолютно аналогичным образом вводится и объясняется понятие идеальной семантики для области евклидовой геометрии. Здесь широкое применение находит постулат о неограниченном пространственном масштабировании, позволяющий описывать стандартными геометрическими конструкциями практически нереализуемые физические объекты и процессы.

Таким образом, наличие идеальной (избыточной) семантики в элементарной арифметике и евклидовой геометрии делает применение математики значительно более эффективным. Ведь математический аппарат позволяет описывать не только уже известные существующие физические явления, но и предварительно моделировать новые и только после этого реализовывать их на практике. При этом возможную неудачу при реализации смоделированного процесса можно списать на неадекватность сформированной модели, а не на недостатки всего математического аппарата в целом. Помимо понятия конструктивной идеализации в математике имеется еще и понятие пропозициональной идеализации: всякое доказанное утверждение элементарной арифметики и евклидовой геометрии является верным. Наличие такого понятия связано с тем, что помимо операций в математике важную роль играют и выражения. Для пропозициональной идеализации наличие идеальной семантики объясняется подобным же образом, как и для конструктивной.

Таким образом, решение проблемы Вигнера может заключаться в наличии у классической математики свойства идеальной семантики, позволяющей удобно описывать с помощью математического аппарата неизвестные физические явления. Важно отметить, что наличие идеальной семантики неоднократно было успешно использовано различными учеными при проведении своих исследований. Из этого вытекает еще одно доказательство данного решения проблемы Вигнера – эмпирическое. Приведем ниже список лишь некоторых открытий, совершенных изначально с помощью математического моделировании:

• Предсказание солнечного затмения (Фалес Милетский, 585 г. до н.э.).

• Гелиоцентрическая система мира (Аристарх, ~300 г.до н.э.).

• Тригонометрический метод для определения расстояний до Солнца и Луны (Аристарх, ~300 г. до н.э.).

• Магнитное поле Земли (У. Гильберт, 1600 г.) [1].

Разумеется, этот список далеко не полный, приводить все подобные открытия здесь не имеет смысла. В то же время огромное количество открытий было осуществлено по обратному пути: сначала явление обнаруживалось практически, а лишь затем подбирались описывающие его математические формулы и понятия. Вероятно, это связано с самой человеческой природой, благодаря которой мы зачастую делаем многие вещи неосознанно, задумываясь о полученном результате лишь потом. В повседневной жизни такая модель поведения часто приводит к проблемам, но без этого многие ученые не смогли бы совершить великие и судьбоносные открытия. Однако факт математического описания открытий уже после их совершения нисколько не опровергает утверждения об эффективности математики, а наоборот еще раз подтверждает его, показывая, что математическая теория может успешно взаимодействовать с физическими явлениями вне зависимости от порядка наступления событий, совершения открытия и его описания.

Подведем итог рассмотрения обозначенной выше проблемы – проблемы Вигнера – почему же математическая теория до сих пор является крайне эффективной для описания окружающей нас физической реальности. Эта проблема со своими вопросами показалась достаточно интересной по той причине, что автору, как и любому другому человеку, хоть немного связанному с наукой, техникой или инженерией, приходится практически каждый день сталкиваться с математическими описаниями физических объектов и явлений. Именно поэтому очень важно найти ответы на вопросы, поставленные проблемой Вигнера.

В статье предпринимается попытка объединения различных ответов на поставленные вопросы, а также приводится авторская позиция относительно данной проблемы. Считать данные вопросы решенными, а проблему закрытой – абсолютно невозможно, так как проблема является в значительной степени риторической, и здесь нельзя не согласиться с Вигнером, определившим эффективность математики как «непостижимую». Думается, что «непостижимая» эффективность математики еще долго будет предметом обсуждений всех, кто как-то связан с математикой и частными науками, языком которых она является.

Используемая литература

1. Википедия – Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/

2. Вигнер, Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках [Электронный ресурс] / Ю. Вигнер. – Режим доступа: https://ufn.ru/ufn68/ufn68_3/Russian/r683f.pdf

3. Родин, А.В. Программный реализм в физике и основания математики [Электронный ресурс] / А.В. Родин. – Режим доступа: http://vphil.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1138

4. Пригожин, И. Философия нестабильности [Электронный ресурс] /И. Пригожин. – Режим доступа: http://ec-dejavu.ru/i/Instability.html

5. Кант, И. Критика чистого разума [Электронный ресурс] /И. Кант. – Режим доступа: http://iakovlev.org/zip/kant1.pdf

6. Гильберт, Д. Основания геометрии [Электронный ресурс] / Д. Гильберт. – Режим доступа: http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/osn_geom.htm

Код для цитирования: Скопировать