VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Введение

В ряде работ (см., например, [1]-[3]) изучались условия аналитической разрешимости комплексной задачи Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений в ненормированных пространствах. Характерной особенностью этих систем является то, что все их уравнения имеют одинаковую структуру. Так, в работе [1] рассматривалась система

в работе [2] – система

в работе [3] – система

В представленной работе исследована задача Коши для системы дифференциально-операторных уравнений, имеющих различную конструктивную структуру. Такую систему будем называть смешанной.

Постановка задачи

Пусть ℍ – произвольное счётно-полное локально выпуклое пространство. Наделим пространство ℍ топологией с помощью мультинормы и рассмотрим в этом пространстве систему уравнений

(1)

в которой ℍ ℍ – линейные непрерывные, перестановочные друг с другом операторы, ℕ, ℕ; ℂ ℍ – подлежащая определению неизвестная векторнозначная функция двух комплексных переменных, значения которой на каждом фиксированном наборе принадлежат пространству ℍ. Ставится

Задача Коши: найти решение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям

(2)

где ℂ, ℍ,

Теорема существования и единственности аналитического решения. Устойчивость решения

Теорема 1. Пусть операторы ℵ где Тогда задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение для любых векторов ℍ, Оно является аналитической в некоторой области ℂ векторнозначной функцией двух комплексных переменных со значениями в пространстве ℍ и определяется формулой

(3)

в которой

(4)

(5)

(6)

При этом:

1) вектор-функция является целой при или то есть ℂ;

2) вектор-функция является аналитической в бикруге ℂ, где

В обоих случаях решение задачи Коши (1)-(2) непрерывно зависит от начальных данных ℍ,

Доказательство. Прежде всего, покажем, что в условиях теоремы 1 ряды (4)-(6) сходятся по топологии пространства ℍ абсолютно в некоторой области и равномерно на любом компактном подмножестве Исследование проведём для ряда (4), для рядов (5)-(6) получаемые результаты устанавливаются аналогично.

I. Пусть Обозначим

– компактное подмножество области

Применяя на компакте к ряду (4) дважды оценку [4]

(7)

и формулу Стирлинга

видим, что такое, что

(8)

Из цепочки неравенств (8) следует, что кратный ряд (4) мажорируется (с точностью до постоянного множителя) произведением двух числовых рядов вида

(9)

где В силу произвольности сколь угодно малых чисел ряды (9) сходятся при по признаку Коши. Тогда по теореме Вейерштрасса из оценки (8) следует, что ряд (4) сходится по топологии пространства ℍ абсолютно на ℂ и равномерно на любом компакте то есть ℂ. Кроме того, из полученной оценки вытекает, что частичная сумма ряда (4) равностепенно непрерывна. Поэтому по теореме о непрерывности предела равностепенно непрерывного семейства операторов [5] заключаем, что ряд (4) имеет сумму, непрерывно зависящую от вектора

Если же применяя к ряду (4) на компакте дважды оценку [4]

(10)

и формулу Стирлинга, видим, что такое, что

(11)

В виду произвольности сколь угодно малых чисел ряды вида

(здесь ) представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателями

Из сходимости этих рядов при оценки (11) и теоремы Вейерштрасса заключаем, что ℂ и ряд (4) имеет сумму, непрерывно зависящую от вектора

II. Рассмотрим случай, когда хотя бы один из операторов имеет порядок, в точности равный порядку соответствующей производной.

1) Пусть а

– компактное подмножество области

Применяя к ряду (4) на компакте оценки (10) и (7), а также формулу Стирлинга, видим, что , для которого

(12)

Выше показано, что ряд

сходится при

Применяя признак Коши, несложно показать, что ряд

(13)

сходится при Тем самым, при рассматриваемых условиях из оценки (12) вытекает, что ряд (4) сходится по топологии пространства ℍ абсолютно в бикруге и равномерно на компакте а его сумма непрерывно зависит от вектора

2) Пусть и пусть

– компактное подмножество области

Действуя аналогично случаю 1), будем иметь:

(14)

Выше показано, что ряд

сходится при а в силу признака Коши ряд

(15)

сходится при Тогда из оценки (14) следует, что ряд (4) сходится по топологии пространства ℍ абсолютно в бикруге и равномерно на компакте и его сумма непрерывно зависит от вектора

3) Пусть и пусть

– компактное подмножество области

Легко видеть, что

(16)

Из оценки (16), в силу установленной ранее сходимости рядов (13), (15), делаем вывод, что ряд (4) сходится по топологии пространства ℍ абсолютно в бикруге и равномерно на компакте и его сумма непрерывно зависит от вектора

Рассуждая аналогично, можно показать, что в условиях теоремы 1 ряды (5)-(6) также сходятся по топологии пространства ℍ абсолютно в области описанной выше, и равномерно на любом компактном подмножестве и непрерывно зависят от векторов соответственно.

Таким образом, вектор-функция (3) является аналитической в некоторой области и непрерывно зависит от векторов

Покажем, что вектор-функция (3) определяет решение системы (1). В виду абсолютной и равномерной сходимости ряды (4)-(6) представляют собой аналитические функции двух переменных, поэтому их можно дифференцировать почленно по переменным любое число раз. Тогда

то есть, вектор-функция (3) удовлетворяет первому уравнению системы (1). В то же время, с одной стороны,

(17)

С другой стороны,

(18)

Полагая ℝ, и учитывая, что

где – бета-функция, – гамма-функция, будем иметь:

(19)

(20)

Следовательно, в силу (18)-(20)

(21)

Сопоставляя (17) и (21), убеждаемся, что вектор-функция (3) является также решением и второго уравнения системы (1), то есть вектор-функция (3) удовлетворяет системе (1).

Легко видеть, что и для

Аналогично можно показать, что при

Итак, вектор-функция (3) является решением задачи Коши (1)-(2).

Рассуждая по схеме, изложенной в [3], можно показать, что задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение.

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Аксёнов Н.А. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами. Вестник Ижевского государственного технического университета 2009; 4 (44): 176-178.

2. Аксёнов Н.А. Задача Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка в локально выпуклых пространствах. Математические заметки 2011; 90 (2): 183-198.

3. Аксёнов Н. А. Аналитическая разрешимость комплексной задачи Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами. Учёные записки Орловского государственного университета. Серия «Естественные, технические и медицинские науки» 2013; 6 (56): 25-32.

4. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Орёл: ОГУ, 2009.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977.

 

12

 

Код для цитирования: Скопировать