VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Как показывает практика, в наше время экономисту необходима серьезная математическая подготовка. Поэтому в данной работе рассмотрим некоторые аспекты применения векторной алгебры при решении задач с экономическим содержанием. Рассмотрим некоторые теоретические вопросы, использующиеся в данной теме. При введении прямоугольной системы координат на плоскость, каждому вектору X (направленному отрезку) приводится в соответствие пара чисел, ,– координат этого вектора. Это можно записать с помощью равенства X=(). Аналогично будет и в трехмерном пространстве X=(). Подытожив факты, получим следующее определение, в котором n означает любое натуральное число. Любая последовательность из n действительных чисел,…, , которые называются компонентами вектора, и есть арифметический n-мерный вектор. Обозначается n –мерный вектор: X=(,…,).

Как будет видно далее, векторы очень удобно использовать для описания реальных процессов, в том числе экономических. Например, под товаром понимаются некоторый товар или услуга, поступившие в продажу в определенном месте и в определенное время.

Предположим, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается , тогда некоторый набор товаров обозначается X=(), т.е. является n - мерным вектором. Будем рассматривать, как принято, только неотрицательные количества товаров, поэтому для любого i = 1, n, ≥ 0 или X ≥ 0. Пространство товаров- множество всех наборов товаров. Далее предположим, что каждый товар имеет цену. Все цены могут быть только положительными. Тогда вектор C=() есть вектор цен, при условии, что цена единицы i-го товара есть . Вектор цен и вектор набора товара имеет одинаковую размерность. Для вектора цен C=() и набора товаров X=() их скалярное произведение C X= есть число, называемое ценой набора товаров или его стоимостью.

Рассмотрим несколько задач с применением векторов в экономике. Пусть завод производит мужские, женские и детские ролики. Тогда объем его производства V за год можно записать как вектор V=(M, L, K), где М – объем производства за год мужских велосипедов, L – женских, K – детских. Допустим, что объем производства в 2013 г. был =(500, 400, 2000). Предположим, что объем производства в 2014 г. был на 10 % больше объема производства в 2005 г., следовательно, объем производства в 2014 г. есть вектор =1.1 =(550, 440, 2200). Пусть торговая фирма «Велосипеды» приобрела половину всей продукции завода, тогда в 2013 г. фирма купила W=0/5, т.е. вектор закупки – W=(500, 400, 2000). Предположим, что в стране всего 2 завода по производству роликов, объемы производства которых в 2013 г. были =(500, 400, 2000),=(800, 1000, 4000). Тогда оба завода произвели вместе в 2013: Q= +=(1300, 1400, 4000), т.е. 1300 мужских, 1400 женских и 6000 детских роликов. На данном примере – производство роликов - мы рассмотрели такие операции над векторами, как сложение векторов и умножение вектора на число.

Также можно рассмотреть следующую задачу. Коммерческий банк, участвующий в строительстве сети социальных аптек в Ставрополе, предпринял усилия по получению кредитов в 4 коммерческих банках: «Сбербанк», «ВТБ24», «Московский индустриальный банк», «Россельхозбанк». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 10, 30,20 и 40 млрд. руб. под годовую процентную ставку25, 15,30 и 20%. В данном случае речь идет о двух векторах: трехмерном векторе кредитов K=(10, 30, 20,40) и векторе процентных ставок P=(25, 15, 30,20). Для расчетов вместо вектора процентных ставок P удобнее использовать вектор коэффициентов =(1.25, 1.15, 1.3,1.2). Используя простой расчет, управляющий коммерческим банком может определить, сколь придется платить по истечении года за кредиты, взятые у банков: K 1.2 = 120 млрд. руб. На данном примере мы рассмотрели применение операции скалярного произведения векторов.

Очень интересным является использование элементов векторной алгебры, которую можно рассмотреть в следующей задаче. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице.

Следует рассчитать следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Вид изделия	Количество изделий, ед.	Расход сырья, кг	Норма времени изготовления ч/изд.	Цена изделия ден. ед./изд.
1	10	2	9	35
2	40	3	4	20
3	30	7	14	44
4	20	6	7	25

Решение. Составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл по данным таблице:

=(10,40,30,20) — вектор ассортимента,

(2,3,7,6) — вектор расхода сырья,

(9,4,14,7) — вектор затраты рабочего времени,

(35,20,44,25) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортиментана три других вектора, т. е.

Применение векторов подробно описано в следующей задаче. Побывав на Омском экспериментальном заводе сельскохозяйственной техники, были определены ежесуточны экономические показатели ОЭЗ, которые представлены в таблице:

Экономические показатели ОЭЗ

Вид изделия	Расход сырья(кг)	Время изготовления	Количество изделий	Цена изделий (руб)
Плуг	50	120	6	90000
Борона	40	150	5	14000
Лущильник	60	420	7	50000
Каток	90	220	4	300000

Необходимо найти цены на сельскохозяйственную технику, расходы и затраты сырья.

Решение:

Для рассмотрения производственного процесса введем 4 вектора: — вектор расхода сырья; — вектор времени; — вектор изделия товара; — вектор цены.

В соответствие с данными таблицы получим: = (50;40;60;90); = (72, 15, 42,20); = (6;5;7;4); = (90000;14000;50000;300000).

Очевидно, что соответствующие скалярные произведения векторов, представляющие искомые величины, будут делиться на три других вектора:

=6*120+5*150+7*420+4*220=720+750+2940+880=5290часа

=6*50+5*40+7*60+4*90=300+200+420+360=1280кг

=6*90000+5*14000+7*50000+4*300000=540000+70000+350000+1200000=2160000 денежных единиц

По результатам решения можно сделать следующий вывод, что необходимо потратить сырья в размере 1280 килограмм, при этом на это потребуется 5290 часа и 2160000 денежных единиц.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в современной математике и ее приложениях векторы играют важную роль. Векторы так же широко применяются в теории относительности, квантовой физике, в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

Список литературы:

1. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Математическое моделирование социально-экономических систем // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона Ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета "Аграрная наука - Северо-Кавказскому региону". 2012. С. 283-286.

2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции. 2014. С. 329-332.

3. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 8-2. С. 178-179.

4. Долгополова А.Ф., Мелешко С.В., Цыплакова О.Н. Применение анализа чувствительности модели при восстановлении финансового равновесия предприятия // Аграрная наука Северо - Кавказскому федеральному округу. Сборник научных трудов по материалам 80-й Ежегодной научно-практической конференции. Ставропольский государственный аграрный университет. 2015. С. 98-103.

5. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам /Аграрная наука, творчество, рост. -2013. -С. 268-371.

6. Шмалько С.П. Формирование профессионально ориентированного мышления у студентов экономических направлений. // Культурная жизнь Юга России. 2010. №1. С. 99-101.

7. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф., Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. С. 91-93.

Код для цитирования: Скопировать