VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Ни для кого не секрет, что математика – фундаментальная, очень обширная наука, включающая в себя множество разделов. Так же нельзя не отметить её огромное значение в жизни каждого человека и человечества в целом. Практически все экономические и политические процессы тем или иным образом связаны с математическими расчётами, а все остальные науки хотя и в разной степени, но связаны с математикой. Одним из разделов математики является линейная алгебра, с помощью которой происходит изучение объектов линейной природы, векторных (линейных) пространств и т.д.

Первыми исследованиями в области линейной алгебры были решения системы линейных уравнений. Первым, кто уделил наибольшее внимание этой науке, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, который в 1693 г. стал активно применять линейную алгебру на практике. В начале XX века линейная алгебра стала обязательным предметом для изучения в средних и высших образовательных учреждениях.

Что же используется в линейной алгебре? В первую очередь это решение систем линейных уравнений, составление матриц, нахождение детерминантов и изучение векторов и векторных пространств. Чтобы хоть немного вникнуть в сущность линейной алгебры, нужно знать значение основных понятий этого раздела.

1. Матрица – математический объект, который записывают в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают её размер.

2. Система линейных уравнений - это объединение m линейных уравнений, каждое из которых содержит n переменных. Записывается в виде:

,

1. Вектор – направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве параллельно самому себе, так же вектор – это элемент некоторого непустого множества, на котором определены две операции: сложение и умножение векторов на вещественные числа.

2. Векторное пространство - это математическая структура, которая представляет собой множество векторов, для которых определены операции сложения векторов между собой и умножение на число. Если под множеством векторов понимать элементы любой природы, то множество называется линейным пространством.

Нельзя не отметить, что все эти понятия используются не только в линейной алгебре, но и в других сферах, например, в экономике. Так как экономический анализ практически всегда сопровождается математическими подсчётами количественных изменений, линейная алгебра неразрывно связана с ней, хотя это и две разные области знаний, которые имеют разные предметы изучений. Наиболее распространённый метод решения экономических задач – составление матриц, которые имеют широкое применение в экономических исследованиях, так как большинство реальных экономических ситуаций удобно описывать простой и компактной матричной форме.

Например: дана таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы и года выпуска

Продолжительность службы (годы)	Годы выпуска автомобилей
	2011	2012	2013
1	10500	10820	11200
2	9320	9500	10000
3	7500	7999	8400
4	5684	5890	6300

Таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом:

A = _

Можно увидеть, что в строках отображены цены автомобилей, прослуживших одно и то же количество лет, а в столбцах – цены автомобилей, выпущенных в одно время, но эксплуатируемых разное количество времени. Таким образом можно увидеть, что каждый элемент матрицы отражает годы эксплуатации автомобиля и год его выпуска.

Применение матриц так же используется при решении экономических задач, рассмотрим это на следующем примере: Предприятие по производству сельскохозяйственной техники выпускает товары трех видов: тракторы (,P-1.), комбайны (,P-2.) и культиваторы (,P-3.) и использует два типа сырья: чёрный металл (,S-1.),и цветной металл (,S-2.). Нормы расхода запасов металла отображены в матрице:

А = _

где каждый элемент _ показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (90 50 140). Стоимость единицы каждого типа сырья– матрицей-столбцом:

B = _

Необходимо найти общую стоимость сырья. Для это нужно посчитать затраты первого сырья. Они составляют _= 4∙90 + 6∙50 + 2∙140 = 940 единиц, а затраты второго:

_ = 8∙90 + 1∙50 + 5∙140 = 1470 единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строкиS = (940 1470) и произведения:

S = C∙A = (90 50 140) ∙_ = (940 1470)

Общая стоимость двух видов металла составит: Q = 940∙40 + 1470∙60 = 125800 (денежных единиц).

Рассмотрим ещё одну задачу:

Завоз определённых товаров на склады можно отобразить в следующих матрицах:

_= _– ввоз товаров на первый склад

_=_ – ввоз товаров на второй склад

Требуется найти сумму завоза всех товаров за год если производится ежемесячный завоз идентичных партий товара.

Найдём суммарный завоз: _

Далее мы можем найти годовой завоз: 12·(_=_

Вычислив с помощью матриц годовой завоз товаров на первый и второй склады, мы смогли получить ответ.

Так же можно решать экономические задачи путём составления системы линейных уравнений. Рассмотрим на примере: Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Характеристики производства, которые нужны нам для решения данной задачи, представлены в таблице:

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.			Запас сырья, вес. ед.
	1	2	3
1	5	2	6	2470
2	7	4	9	3845
3	3	8	2	2450

Нужно определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Такие задачи используются при прогнозировании расхода сырья на производстве и определении уровня экономического функционирования предприятия.

Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через _, _и _. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно составить соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему любым способом (Методом Гаусса, Крамара, матричным методом и т.д.), мы получим объемы выпуска продукции при заданном количестве сырья:

_, _, _

Экономические расчёты с использованием матриц очень удобны тем, что в них можно компактно записать множество переменных. К недостаткам можно отнести невозможность прогнозировать изменение этих переменных в будущем. Помимо матриц и матричных уравнений в экономике часто используются и векторы.

Например, можно вычислить производственные показатели предприятия, которые отображены в следующей таблице:

Вид изделий	Количество изделий	Расход сырья	Норма времени изготовления	Цена
1	30	5	7	15
2	70	10	9	14
3	20	2	12	16
4	15	3	15	26

Необходимо определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья A, затраты рабочего времени B и стоимость C выпускаемой продукции предприятия. По приведенным данным составим векторы, которые характеризуют весь производственный цикл:

_= (30, 70, 20, 15) - вектор ассортимента;

_ = (5, 10, 2, 3) - вектор расхода сырья;

_ = (7, 9, 12, 15) - вектор затрат рабочего времени;

_ = (15, 14, 16, 26) - ценовой вектор.

Тогда величины, которые нам нужно найти, будут равны скалярным произведениям вектора ассортимента _ на три других вектора:

A = _ = 30·50+70·10+20·2+15·3 = 935 кг

B =_ = 30·7+70·9+20·12+15·15 = 1305 ч

C =_ =30·15+70·14+20·16+15·26= 2140ден. ед.

На примере этих задач можно наглядно увидеть, какой существенный вклад вносит линейная алгебра в изучение экономики. Нельзя переоценить пользу использования методов линейной алгебры в экономических задачах. Конечно, не все экономические процессы и изменения можно описать данным способом, но большинство расчётов существенно упрощается в результате использования матричной и векторной алгебры.

Список литературы:

1. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции. 2014. С. 329-332.

2. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 8-2. С. 178-179.

3. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам /Аграрная наука, творчество, рост. -2013. -С. 268-371.

4. Шмалько С.П. Сгущение учебной профессионально ориентированной информации по математике при обучении студентов-экономистов. // Теория и практика общественного развития. 2011. №6. С. 150-155.

5. Шмалько С.П. Формирование профессионально ориентированного мышления у студентов экономических направлений. // Культурная жизнь Юга России. 2010. № 1. С. 99-101.

Код для цитирования: Скопировать