Можно долго рассуждать, какое из открытий Архимеда является самым важным. Мы начнем перебирать их все в поисках чего-то действительно грандиозного, по сравнению с чем все остальные начинают меркнуть на его фоне, но это почти невозможно, так как все они являлись революционными для того времени – например, его знаменитое: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю» или же его знаменитое открытие вогнутых зеркал, с помощью которых он поджег римский флот во время битвы под Сиракузами в 212 году до нашей эры, положение основ интегрального исчисления, вычисление числа π, но мы все равно будем не правы. Открытия, которые совершил великий философ и гениальный математик Архимед, просто необходимы для человечества, так как они произвели огромный скачек в различных разделах математики и физики. Но все-таки Архимед считал своим самым главным открытием определение соотношения объемов шара, цилиндра и конуса, чьи диаметры одинаковы и прямо пропорциональны высотам. Данное открытие помогло ему найти формулу для вычисления объемов и площадей поверхности данных тел. И он даже завещал выбить эти тела на своем надгробии.
Плутарх рассказывал об Архимеде: «Он был помешан на математике, бывало даже такое, что по несколько суток он не питался и не пил воду, и совершенно не следил за своим внешним видом».
Труды Архимеда присутствовали почти во всех областях математики того времени: ему принадлежат прекрасные исследования по алгебре, геометрии, арифметике. К открытиям Архимеда относятся следующие: частный случай многогранника, в области конических сечений был сделан большой скачек, так же ему присущ геометрический способ решения кубических уравнений вида
с помощью параболы и гиперболы он находил решения данных уравнений. Великий ученый исследовал, при каких условиях корни уравнений будут иметь положительные различные корни, а при каких значениях они будут совпадать.
Главная математическая деятельность ученого была направлена на решения проблем, касающихся области математического анализа. Еще до Архимеда в Древней Греции ученые могли определять объемы призмы, цилиндра, пирамиды и конуса, находить площади круга и многоугольников. Но Архимед отыскал более простой метод нахождения объемов и площадей, для этого он усовершенствовал и мастерски применял метод для вычисления площади или объёма криволинейных фигур, который когда-то открыл Евдокс Книдский. В своем труде «Метод механических теорем», для вычисления объемов он использовал бесконечно малые величины. Так в основе интегральных исчислений лежат идеи выдвинутые Архимедом. Сфера и конусы, имеющие общую вершину, которые вписаны, в цилиндр имеют следующие соотношения: цилиндр: сфера: два конуса – 3:2:1.
До Архимеда никто не мог установить объем шара, поэтому он считал это открытие главным и наилучшим из своих достижений, что даже попросил после своей смерти выбить на надгробной плите шар, который вписан в цилиндр. Возможно, у вас возникнет вопрос «Почему?». Ответ очень прост. Эти фигуры являются идеальными. Мы должны знать и понимать суть соотношения идеальных фигур, а так же их свойства, для того чтобы заложенный в них смысл нести в наш мир, который очень далек от идеала, в отличие от данных фигур. Вот соображения, с помощью которых он получил точную формулу для объема шара. Пусть – два взаимно перпендикулярных диаметра большого круга шара с центром К, а AFE – осевое сечение конуса, основания которого шар касается в центре – точке С. Второй конец диаметра АС совпадает с вершиной конуса. На круге с диаметром (основе конуса) построим еще цилиндр, высота которого равна . Осевое сечение цилиндра – GFEL.
Отложим и рассмотрим равноплечный рычаг HAC с точкой опоры в A. Через любую точку S диаметра AC построим плоскость, перпендикулярную АС. Она пересечет цилиндр по кругу диаметром , шар – по кругу диаметром и конус – по кругу диаметром . Очевидно, что и Поэтому . Потом . Поскольку , то или, на основе предыдущего равенства,
В одной из работ Архимеда «Квадратура параболы», было доказано, что сегмент параболы, отсекаемый от неё прямой, равняется 4/3 площади вписанного в данный сегмент треугольника. Данную теорему он теоретически подтвердил, высчитав сумму бесконечного ряда:
Всякое слагаемое последовательности является общей площадью треугольников, которые вписаны в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.
Помимо вышеперечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда». Это произошло в III веке до нашей эры. В этом ему помог компас, с которым он экспериментировал длительное время. Он тянул стрелку с постоянной скоростью, вращая компас по спирали. В итоге получилась кривая, закрученная спиралью, расстояние между витками которой было равным. Так же, в других опытах, Архимед определил объёмы:
сегментов шара – определенных частей шара, отсеченных от него плоскостями
эллипсоида – трехмерного аналога эллипса, описываемого тремя полуосями (a,b,c)
параболоида – поверхности второго порядка, не имеющей центра симметрии, описываемой каноническим уравнением
Двуполостного гиперболоида вращения – поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат, описывается уравнением
Пройдя общий школьный курс, мы научились определять касательную к окружности. Древние греки так же могли определить касательные к эллипсу, гиперболе, а так же к параболе. Но как определить касательную в любой точке данных геометрических фигур? Данную задачу попытался решить Архимед, что у него в итоге получилось. Выдвинутый им метод решения данной задачи впоследствии лег в основу дифференциального исчисления.
Список литературы:
1. Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А Математика (рабочая тетрадь).// Международный журнал экспериментального образования. 2015. № 2-2. С. 255-256.
2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование математической подготовки студентов аграрных вузов // Инновационные векторы современного образования. 2012. С. 11-16.
3. Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Яновский А.А. Рабочая тетрадь «математическая логика и теория алгоритмов» (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 8-2. С. 169.
4. Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. Исследование операций (учебное пособие) // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 118-119.
5. О квадратуре круга: [пер. с яз. оригинала работ Архимеда, Гюйгенса, Ламберта, Лежандра, Рудио] / Пер.под ред., с предисл. и примеч. С.Н. Бернштейн. Одесса. 1911 .VIII. 155 с.