VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В данной работе исследованы негармонические колебания математического маятника методом Рунге-Кутты с помощью приложения для математических и инженерных вычислений PTC MathCad 15. Была составлена и решена задача Коши для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Были исследованы временные зависимости углов отклонений при заданных начальных углах отклонения более пяти градусов. Построены графики данных временных зависимостей. Сделаны и проанализированы выводы о характере колебаний и зависимости негармонических колебаний от времени при различных значениях начальных углов отклонения маятника.

§1. Начальные условия. Описание значимых параметров. Граничные условия.

На начальном этапе решения задачи наибольшее внимание необходимо сосредоточить на двух параметрах: коэффициенте затухания β иначальной собственной частоте ω₀

Коэффициент затухания колебаний маятникаβ примем равным обратному значению времени затухания τ

При этом допустим, что время затухания равно двум периодам

Это допущение является достаточно удобным для изучения и сравнения, полученных в дальнейшем результатов.

§2. Построение модели негармонических колебаний математического маятника.

Введём ряд необходимых параметров для построения математической модели колебательного движения маятника

φ – угол отклонения маятника

β – коэффициент затухания

ω₀ – начальная циклическая частота гармонических незатухающих колебаний

L – длина математического маятника

и ускорение свободного падения для Земли 𝑔=9,81

Так как:

Если при малых начальных углах отклонения φ (менее 5^о) можно пренебречь значением синуса данного угла (так как он будет приблизительно равен единице), то дифференциальное уравнение имеет вид:

и существует его аналитическое решение:

^[1]

В противном случае (при углах более 5^о ) уравнение имеет вид:

а его аналитическое решение является нетривиальной задачей.

Следовательно, будет проще прибегнуть к нахождению решения численными методами.

§3. Решение задачи в программной математической среде. Функция Odesolve.

Исходя из принципиальной простоты использования для подобных задач программных математических сред (в частности PTC MathCad 15), использован метод Рунге-Кутты как наиболее подходящий для решения полученного уравнения и и как наиболее простой при эксплуатации в программной среде.

Для решения дифференциальных уравнений MathCad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений.^[2]

Встроенная функция odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной. В отличие от других функций библиотеки Differential Equation Solving, odesolve решает дифференциальные уравнения, записанные в общепринятой математической литературе в виде задачи Коши. ^[3]

С помощью функции odesolve были решены уравнения (1) и (2) для начальных углов отклонения равным и меньше 5^о.

Рисунок 1. Графики функций колебаний при начальном угле 5 градусов для уравнений (1) и (2).

Чем было доказано первоначальное предположение о возможности пренебрежения функцией синуса в уравнении (1)

С помощью данной функции было получено графическое решение уравнения для трёх функций с произвольно взятыми углами превышающими значение 5⁰ (2)

Рисунок 2. Графики функций колебаний при начальных углах 10⁰, 15⁰, 20⁰ (Соответствуют φ(t), ψ(t), ρ(t)).

Характер поведения данных функций в принципе не отличается от поведения функций периодических колебаний – сохраняется очевидная пропорциональная зависимость значения начальной амплитуды от начального угла отклонения.

§4. Анализ, сравнение полученных решений. Выводы.

При сравнении построенных графиков уравнений (2) и (1) различия результатов представляют собой отдельную функцию выражаемую отношением решения, полученным с помощью функции odesolve (2) к решению дифференциального уравнения (1).

Рисунок 3. Отличие решения уравнений (2) (на графике соответствует φ(t)) от решения уравнения (1) (соответствует φ1(t)) при начальном угле отклонения 20⁰.

Графическая и табличная записи результатов демонстрируют различия в поведении функций (амплитуда и фаза) и явной неадекватности уравнения (1) для решения поставленной задачи.

Нетрудно заметить, что при стремлении слева к нечётным по счёту точкам на оси абсцисс, принимающим значения времени кратным четверти периода, отношение возрастает, а непосредственно в приблизительном центре обозначенной области происходит разрыв второго рода. Аналогично при стремлении справа к нечётным по счёту точкам на оси абсцисс, принимающим значения времени кратным четверти периода, отношение возрастает, а непосредственно в приблизительном центре обозначенной области происходит разрыв второго рода.

Рисунок 4. Графики отношения функций уравнений (2) и (1) для разных начальных углов отклонения. Функциям ζ(t), κ(t), ξ(t) и φ(t) соответствуют начальные углы 5⁰, 10⁰, 15⁰ и 20⁰.

Начальный угол отклонения маятника (в градусах)	5	10	15	20
Время (в долях периода)
0	1	1	1	1
Т/8	1,086	1,087	1,089	1,092
Т/4	16,841	17,324	18,118	19,232
3Т/8	0,917	0,913	0,907	0,899
Т/2	0,998	0,998	0,997	0,995
5Т/8	1,078	1,082	1,088	1,097
3Т/4	6,406	6,768	7,339	8,139
7Т/8	0,916	0,909	0,898	0,883
Т	0,998	0,997	0,995	0,993
9Т/8	1,077	1,083	1,091	1,103
5Т/4	4,267	4,563	5,008	5,64
11Т/8	0,912	0,904	0,89	0,87
3Т/2	0,996	0,995	0,993	0,989
13Т/8	1,074	1,082	1,091	1,105
7Т/4	3,316	3,573	3,939	4,454
15Т/8	0,911	0,901	0,885	0,862
2Т	0,995	0,995	0,992	0,988

Таблица 1. Численное пояснение к графикам на рисунке 4.

Строго говоря, указанные выше точки не являются непосредственно центрами симметрии: это обусловлено негармоническим характером исследуемых колебаний.

Отличия вышеупомянутых решений при различных углах, лежащих в диапазоне от 5 до 20 градусов, подчиняются примерно одному закону и считаются приблизительно равными (см. таблицу 1). То есть, можно сказать, что решение уравнения (1) равно уступает приведённому методу анализа колебаний при всех значениях начального угла отклонения маятника выходящих за границы диапазона от 0 до 5 градусов.

Список использованной литературы и интернет ресурсов

1. Арсеньев А.Н., Ефимова А.А. Методическая разработка к выполнению лабораторных работ по теме колебания. Самара 2012 г. Приложение II. Стр.97

2. www.exponenta.ru/soft/mathcad/learn/ode/ode.asp

3. www.exponenta.ru/soft/mathcad/learn/ode/ode.asp#odesolve - ODESOLVE.

Код для цитирования: Скопировать