VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Проанализируем методы линейных дифференциальных уравнений применяемых в исследовании различных макроэкономических моделей, где в роли независимой переменной выступает t. Эффективность данных моделей обусловлена использованием эволюции какой-либо экономической системы в длительных интервалах времени. Более того, данные системы являются предметом изучения изменения динамики в экономике.

Под экономической системой понимается совокупность хозяйственных единиц – организации и предприятии связанных между собой устойчивыми производственными связями.

Экономическая система будет являться динамической при условии наличия в этой системе так называемых динамических элементов.

Выход в любой момент времени t динамического элемента системы напрямую зависит от значений выходов и входов в случившиеся моменты времени т.е. t – 1, t – 2, и так до t – n.

Рассмотрим динамические экономические системы в качестве линейных систем при условии непрерывности времени. Таким образом, элемент динамической системы порядка n будет иметь следующий вид:

(1)

На практике лучше всего применяются элементы нулевого (к примеру мультипликатор), первого и других порядков.

Переход экономической системы из одного равновесного состояния в другое является основным элементом в исследовании динамических процессов. В случае, когда подобный переход осуществляется в течении длительного периода времени, понятие экономического равновесия утрачивает заложенный в него смысл, следовательно возникает необходимость изучения непрерывного динамического процесса преобразования экономики. Для этого в качестве инструмента может быть использована теория дифференциальных уравнений. За основу будет взята динамическая модель Кейнса.

В модели Кейнса установлено, что ВВП следующего года равен валовому спросу текущего года. В свою очередь валовый спрос, включающий спрос на потребительские товары и инвестиционные товары напрямую зависит от ВВП текущего года т.е.:

(2)

Из данной линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и постоянства спроса на товары следует соотношение:

(3)

Где, C – это минимальный объем потребительского фонда, неизменяемый при увеличении роста национального дохода.

– склонность к потреблению.

Данное соотношение действует при условии прерывности времени в один год, при прерывности выражение будет иметь следующий вид

(4)

Где, – склонность к накоплению.

В рамках изучения динамики наиболее эффективно использовать непрерывное время, при условии применения формальной записи модели в виде дифференциального уравнения.

Проанализируем динамику перехода национального дохода в равновесное состояние, при этом применяя модель в форме дифференциального уравнения с непрерывным временем.

В ходе преобразований при условии получим следующее уравнение:

(5)

Имеется, что общим решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма какого-либо его частного и общего решения, которые относятся к однородному дифференциальному уравнению:

(6)

Частным решением уравнения (6) будет выступать стационарное решение.

(7)

Рассмотрим следующее однородное дифференциальное уравнение:

(8)

Данное уравнение с разделяющимися переменными, следовательно:

(9)

После интегрирования обеих частей этого уравнения, получается:

, где c₀>0 (10)

y_o._o. =c₀y_o.n. = c₀ + (11)

Изменение спроса на инвестиционные товары с I₀ до I, причем I>I₀, приводит к изменению значения ВВП от y₀ = , до значения y=E, при этом

(12)

Можно сделать вывод, что при любом исходном значении y₀ национального дохода, вскоре его значение становится идентичным значению в состоянии равновесия y_K. Для определения скорости перехода всостоянию равновесия используют коэффициент склонности к сбережению 1-c. Чем выше этот коэффициент, тем быстрее приближается значение национального дохода к равновесному.

При условии, что в начальный период времени y₀>y_E, в остальные периоды значение национального дохода будет превышать равновесный за все время при постоянном уровне инвестиций.

В другом случае, при исходном y₀

Код для цитирования: Скопировать