VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Понятие предела несомненно занимает ключевое место в математике. Оно является основным понятием математического анализа, без которого невозможны многие экономические расчеты. Представление о понятии предела является очень древним, основанным на эмпирических исследованиях, а современная теория – результат систематизации и эволюции этих представлений. Такие математики древности, как Евклид и Аристотель, выдвигали идею существования предела. Но лишь спустя несколько столетий Ньютон обратил внимание на эту идею и ввел термин limes (предел).

Определение предела последовательности

Число aназывается пределом последовательности, если по мере возрастания номера nчлен неограниченно приближается к a:

Теория пределов часто используется в различных экономических вычислениях, например, в подсчитывании сложных процентов.

В основном практических расчетах применяют дискретные проценты (начисляемые с определённой периодичностью). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях возникает необходимость в применении непрерывных процентов (например, в доказательствах расчётов, в которых происходят непрерывные процессы). Рассмотрим формулу сложных процентов

,

Где P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (десятичная дробь), S - сумма, которая образовалась к концу срока ссуды в конце n-го года.

Пример: Найти прибыль от 30000 долларов, положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.

Решение. Используем формулу для вычисления сложных процентов:

3000(1+ = 30000 * 1, = 39930 долларов

В данном случае прибыль будет равна:

39930 – 30000 = 9930 долларов

Ответ:9930 долларов.

Зачастую в финансовой практике возникают задачи, обратные определению наращенной суммы: по заданной сумме, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды. Имеем:

,

Где S-заданная сумма, n-время, P-полученная ссуда

Следовательно, при очень больших сроках платежа сумма последнего будет крайне незначительна. В финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм почти не используются, однако при выборе и обосновании инвестиционных решений они необходимы (многие экономические явления по своей природе непрерывны). Разновидность формулы сложных процентов в случае, когда проценты начисляются m раз в году:

,

Где m - число периодов начисления в году, i - годовая ставка.

Логично, что чем больше m, тем меньше n между моментами начисления процентов. В пределе при m →∞ имеем:

Т.к., то

Чтобы было возможно отличать ставки непрерывных и дискретных процентов, непрерывную ставку обозначим , тогда

Пределы так же применяются при использовании производной в экономике. Если функция u=u(t) – объем произведенной продукции за время t, то производная u'() есть производительность труда в момент времени . Если y=f(x) – издержки производства при производстве xединиц продукции, то производная y'=f'() выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной продукции. Также существуют другие величины, характеризующие предельные процессы выручки, дохода, продукта, полезности, производительность и т.д.

Если предельные издержки и цена продукции равны, то в таких случаях говорят, что выпуск продукции является оптимальным для производителя.

= f'(x) = p,

где y – изменение денежных единиц, x – изменение выпуска продукции, p–цена продукции.

Рассмотрим соотношение между предельным и средним доходами. Пусть p – цена, а q–количество продукции, тогда r = p×q, где r–суммарный доход.

Рассмотрим монопольный рынок (на цену влияет одна фирма (иногда несколько): пусть p=aq+b – кривая спроса, тогда r=(aq+b) × q=a+bq – суммарный доход, ==aq+b – средний доход, = 2aq +b – предельный доход. В таких условиях действует следующая закономерность: чем большее количество продукции продано, тем предельный доход ниже, а значит и средний доход уменьшается.

В условиях свободного конкурентного рынка товары продают по фиксированной цене (p=b), тогда r = bq – суммарный доход,= b-предельный доход, = = b - средний доход. Значит, при совершенной конкуренции предельный и средний доходы совпадают.

 

Свободный конкурентный рынок

Монопольный рынок

 

 

r

r

 

 

r (суммарный доход)

 

 

(средний доход)

(средний доход)

 

b

(предельный доход)

 

 

-

 

 

(предельный доход)

q

0

q

0

 

От 0 до эластичный спрос, от до - неэластичный спрос.

Эластичностью функции (y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при x→0:

(y) = :) = = y'

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении переменной xна 1% (другими словами, эластичность показывает, на сколько процентов в среднем произойдет изменение спроса при изменении цены на 1%). Если модуль найденной эластичности больше единицы, то спрос эластичный (||>1); если меньше либо равен единице, тогда спрос называют неэластичным (||); если равен единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью (||).

При p = p(q) - произвольной кривой спроса, предельный доход (равен:

= = p × (1 + ) = p (1 + (p)), или иначе

= p × (1 - ), так как (q) < 0.

C возрастанием цены р суммарный доход от продажи продукции увеличивается (при эластичном спросе (|| < 1, то< 0)) или уменьшается (при неэластичном спросе (||>1, то>0)).

Пример: даны функции спроса q = и предложения s = p + 0,5, где p–цена товара, q–количество покупаемого товара (спрос), а s–количество предлагаемого товара (предложение). Найти рыночную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение: Рыночную цену найдем с помощью равенства q иs:

= p + 5 =>p = 2 (ден. ед.)

Эластичность спроса и предложения найдем по формуле:

(q) = - – эластичность спроса, (s) = –эластичность предложения.

Т.к. p = 2, то (q) = -0,3, а (s) = 0,8. Значит, спрос и предложение на этот товар при рыночной цене являются неэластичными: при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение возрастет на 0,8%.

В ходе работы показана актуальность теории пределов при нахождении показателей в различных экономических ситуациях. Следовательно, теория пределов играет важную роль не только в математике, но и в экономике.

Список литературы:

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ACT: Астрель, 2006. - 301 ст.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики. – Москва, 2007. 145-187 ст.

3. Музенитов Ш.А., Синельников М.Б., Музенитов Э.Ш. Математическая экономика. – Ставрополь, 2003. – 11-75 ст.

4. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование математической подготовки студентов аграрных вузов // Инновационные векторы современного образования 2012. С. 11-16.

5. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции. Ответственный за выпуск Башкатова Т.А.. 2014. С. 329-332.

6. Гулай Т. А., Долгополова А. Ф., Литвин Д. Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 1 (9). С. 6–10.

Код для цитирования: Скопировать