VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В современных рыночных условиях функционирования экономики широкое применение получили различные математические методы моделирования. Объясняется это тем, что математические методы прочно утвердились в любой экономической науке, в силу того, что их использование способно открыть новые дополнительные возможности в экономической практике и теории. Любой современный экономист обязан разбираться в экономико-математических методах, так как именно знание математических моделей способствует лучшему пониманию причин возникновения различных экономических ситуаций, а также позволяет осознавать и сопоставлять возникающие закономерности и правильно прогнозировать последствия принимаемых экономических решений. Применение математических методов подразумевает использование линейных моделей математического программирования.

Линейное программирование – это сектор математики, который занимается разработкой теории и численных методов решения задач по определению экстремума линейной функции множества переменных при наличии определенных линейных ограничений, связывающие данные переменные. Актуальность и значимость линейного программирования заключается в его способности решить широкий круг вопросов и проблем экономики по поиску наилучшего решения данных проблем. В частности линейное программирование используется в таких сферах, как планирование товароснабжения города (района), планирование производства предприятия, планирование товарооборота, оптимальной нагрузки оборудования и так далее.

Задача линейного программирования заключается в нахождении максимума или минимума линейной функции

(1)

при существующих ограничениях

(2)

(2.1)

где - неизвестные переменные;

- заданные постоянные величины.

Равноценная запись данной задачи с помощью знака суммирования имеет вид:

(3)

Функцию F в данном случае называют целевой функцией, либо линейной формой или критерием оптимальности. Система ограничений (2) определяется как функциональные ограничения задачи линейного программирования, а ограничения (2.1) являются прямыми.

При условии того, что в математической модели задачи линейного программирования (1) и (2.1) ограничения (2) заданы только в форме равенств, то итоговая задача будет называться канонической задачей линейного программирования. Если же данные ограничения заданы только в форме неравенств, то она определяется как стандартная (симметричная) задача линейного программирования.

Объединение неизвестных значений ), которые удовлетворяют системе ограничений (2) и (2.1), понимают как допустимое решение либо же, как план задачи линейного программирования, иначе говоря, ограничения (2) и (2.1) определяют область допустимых решений. Допустимое решение задачи называется оптимальным в случае, если оно обеспечивает максимальное или минимальное значение целевой функции F.

Необходимо также отметить, что всякую задачу линейного программирования можно свести к канонической форме. Это достигается за счет преображения любого неравенства вида «меньше или равно» в равенство путем добавления к его левой части вспомогательной неотрицательной переменной, однако неравенство вида «больше или равно» необходимо вычесть из его левой части вспомогательной неотрицательной переменной. Следует учитывать, что возможен случай, когда на какую- либо неизвестную не наложено условие неотрицательности, тогда ее можно заменить двумя неотрицательными величинами , приняв

Рассмотрим конкретный пример создания экономика - математической модели задачи линейного программирования. Для этого необходимо пройти следующие этапы:

1. Обозначение всех переменных;

2. Составление целевой функции с учетом целей линейной задачи;

3. Составить систему ограничений, исходя из имеющихся показателей и их количественных закономерностей.

Необходимо помнить, что в ходе записи модели необходимо обязательно учитывать единицы измерения переменных, как целевой функции, так и задачи и всех ограничений.

Задача. Кондитерский комбинат освоил выпуск новых видов конфет: «Любимые» и «Пчелка». Ожидаемый спрос на данные продукты составляет не больше 15 и 12 т в месяц. Так как данный комбинат помимо прочего также выпускает традиционные виды продукции, каждый из 4 цехов способен выделить на производство новых видов конфет ограниченное количество времени. Выделяемые месячные ресурсы времени и затраты каждого цеха по осуществлению технологического процесса при выработке 1 т конфет каждого вида представлены в таблице 1. В ней также показаны оптовые цены конфет. Необходимо определить наиболее оптимальный объем выпуска каждого вида конфет, при котором будет получена максимальная прибыль комбината.

Таблица 1 – Исходные данные

№ цеха	Затраты времени на выработку 1 т, час		Временные ресурсы, час
	«Любимые»	«Пчелка»
1	2	7	66
2	3	5	45
3	2	4	58
4	1	6	72
Оптовая цена, тыс. руб. / тон.	156	168

Построение математической модели:

1. В приведенной задаче необходимо установить, сколько каждого вида конфет нужно производить в текущем месяце. Следовательно, искомыми переменными являются объемы выпуска каждого вида конфет. Отсюда , а - .

2. Из условия задачи определяем цель, в нашем случае это достижение максимальной прибыли в ходе реализации производимого продукта. Для того чтобы рассчитать объем прибыли от продажи конфет, необходимо знать объемы производства, то есть и конфет обоих видов, а также оптовые цены. Согласно приведенным в таблице 1 данным, прибыль от реализации конфет «Любимые» равна 156 тыс. руб. в месяц, а от реализации конфет «Пчелка» - 168 тыс. руб. в месяц. Благодаря данным значениям можем записать целевую функцию:

1. Ограничения заключаются в следующем:

• Объемы производства конфет не могут быть отрицательными;

• Затраты временных ресурсов каждого цеха не могут быть больше месячного лимита времени по отдельно взятому цеху;

• Согласно результату ожидаемого спроса объем изготовляемых конфет не должен превышать 15 тон для вида «Любимого» и 12 тон – для «Пчелки».

То есть все ограничения можно подразделить на три вида: временные затраты; неотрицательность объемов изготовляемой продукции; рыночный спрос на конфеты;

Запишем все ограничения в математическом виде:

Левая часть ограничений представляет собой время, затраченное каждым цехом на производство конфет в течении месяца в количестве и тонн. Правая же часть состоит из временных ресурсов (лимита времени) рабочего времени каждого цеха. Соответственно, ограничение по цехам имеет вид:

Не отрицательность объемов изготовляемой продукции определяется как:

Ограничения по объему производства конфет, исходя из рыночного спроса, имеют вид:

Обобщая вышеизложенное, математическая модель задачи линейного программирования будет иметь следующий вид:

,

Подводя итог, необходимо отметить особую роль линейного программирования в математических моделях, так как именно оно способствует наиболее эффективному принятию оптимального решения в серьезных экономических проблемах.

Список литературы:

1. Литвин Д. Б., Цыплакова О. Н., Родина Е. В. Моделирование экономических процессов в пространстве состояний // Теоретические и прикладные аспекты современной науки : сборник статей Международной научно-практической конференции. Ответственный за выпуск А. Г. Иволга; ФБГОУ ВПО Ставропольский государственный аграрный университет. 2014. С. 62-66.

2. Цыплакова О.Н., Салпагарова Ф.А.-А., Богданова А.А. Экономико-математическое моделирование в исследовании объектов//Современные наукоемкие технологии. -2014. -№ 5-2. -С. 180-181.

3. Долгополова А.Ф., Мелешко С.В., Цыплакова О.Н. Применение анализа чувствительности модели при восстановлении финансового равновесия предприятия // Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу Сборник научных трудов по материалам 80-й Ежегодной научно-практической конференции. Ставропольский государственный аграрный университет; Редакционная коллегия: Костюкова Е.И., Лещева М.Г., Герасимов А.Н., Склярова Ю.М., Кулиш Н.В., Глотова И.И., Литвин Д.Б., Фролов А.В.. 2015. С. 98-103.

Код для цитирования: Скопировать