VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Уравнение, носящее имя нашего соотечественника Е. Слуцкого, известно в науке начиная с первой половины XX в. Оно состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары при условии неизменности уровня благосостояния. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода. Эффект замещения иногда называют изменением компенсированного спроса [1]. Идея состоит в том, что потребителю компенсируют повышение цены таким увеличением его дохода, которое позволяет ему купить старый потребительский набор. Разумеется, если цена снижается, то "компенсация" заключается в том, что у него отбирают часть денежного дохода [2].

Уравнение Слуцкого описывает поведение точки спроса при компенсации, когда изменения вектора цен и размера бюджета (дохода) согласованы таким образом, что значение функции полезности (далее ФП) остается постоянным. В точке спроса выполняются стандартные условия достижения максимума ФП [3]

(1)

где – множитель Ланграджа, в данном случае натуральная предельная стоимость денег.

Точка спроса есть однородная функция нулевого порядка, и, следовательно, она подчиняется уравнению Эйлера [4]:

(2)

Так как по условию , то

а следовательно, согласно первому уравнению системы (1):

(3)

Изменение точки спроса при компенсации (compensation):

где согласно (3) приращение дохода равно:

(4)

т.е.

откуда следует классический вид уравнения Слуцкого [10]:

(5)

( – столбец; – строка).

Для дальнейшего исследования целесообразно ввести диагональные матрицы P и X:

Они позволяют находить матрицу эластичности спроса и вектор эластичности спроса :

; . (6)

Непосредственно из уравнений (6) следует [11]:

(7)

Умножив обе части уравнения (5) на слева и на P справа, получим уравнение Слуцкого, выраженное в терминах эластичности [6]:

(8)

где – соответственно матрицы эластичности без компенсации и при ее наличии;

– вектор расходов.

Введем вектор распределения относительных расходов:

Тогда уравнение Слуцкого (8) можно записать максимально простым образом [7]

(9)

Введем векторы относительных изменений спроса:

Аналогично запишем вектор относительных изменений цен

При малых величинах этих двух векторов с достаточной точностью можно считать, что они линейно зависят друг от друга

(10)

Теперь предположим, что ФП — однородная функция порядка .

Известно, что в этом случае выполняется равенство:

Поэтому уравнение Слуцкого (5) в случае произвольной однородной ФП приобретает вид [8]

(11)

Умножив каждую сторону уравнения (11) на слева и на P справа, получим соответствующее уравнение для эластичностей:

(12)

Рассмотрим частный случай, когда однородная ФП является функцией Кобба-Дугласа. Тогда, как рассмотрено выше, спрос оказывается равным:

отсюда (13)

где – вектор степеней.

Далее: (E единичная матрица) – эластичность без компенсации.

Отсюда следует выражение для эластичности при наличии компенсации

(14)

Рассмотрим пример с тремя видами товара.

Задается вектор функции Кобба-Дугласа. Задается вектор относительных изменений цен (в процентах).

Требуется найти вектор относительных изменений вектора потребления при компенсации (в процентах).

Пусть, например, векторы и равны:

Матрица эластичности спроса при компенсации в общем случае равна:

где

В данном примере сумма степеней

– матрица эластичности.

Отсюда в соответствии с равенством (10) получаем вектор относительных изменений вектора потребления:

Можно видеть, что спрос на первый и второй виды товара возрос соответственно на 17,5 и на 2,5%, а спрос на третий вид товара снизился на 7,5%.

Нетрудно заметить, что равенство (10) позволяет решать и обратную задачу: задавшись желаемым относительным изменением спроса, определить, каким образом для этого необходимо изменить цены:

Таким образом, построена модель, в рамках которой определяется относительное изменение вектора спроса при компенсации. Одновременно решается и обратная задача на определение компенсированных изменений цен.

Показывается, что привлечение понятия эластичности спроса упрощает запись уравнения Слуцкого и его решение. Доказывается, что знание матрицы эластичности и вектора относительных расходов достаточно для определения реакции спроса для любых сравнительно небольших компенсированных изменений цен. Разумеется, если имеется информация о функции полезности потребителя, то упомянутые матрица эластичности и распределение расходов в принципе теоретически всегда можно вычислить.

Список литературы:

1. Литвин Д. Б., Шайтор А. К., Роговая Н. А. Метод коррекции свойств объекта управления // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем : сб. науч. статей по материалам III Междунар. науч.-практ. конф. / СтГАУ. Ставрополь, 2012. С. 5–8.

2. Система контроля условий транспортировки ценных грузов / Д. Б. Литвин, И. П. Шепеть, С. М. Бражнев, К. А. Протасов, Е. Д. Литвина // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона : сб. науч. статей по материалам Междунар. науч.-практ. конф. / СтГАУ. Ставрополь, 2014. С. 184–186.

3. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования / Т. А. Гулай, А. Ф. Долгополова, Д. Б. Литвин, З. Г. Донец. // Аграрная наука, творчество, рост. 2014. С. 329–332.

4. Решение систем алгебраических уравнений в среде MATLAB / И. П. Шепеть, С. М. Бражнев, Д. Б. Литвин, Е. Д. Литвина, К. А. Протасов // Инновационные направления развития в образовании, экономике, технике и технологиях . сб. науч. статей в 2-х ч. по материалам Междунар. науч.-практ. конф. ; под общ. науч. ред. д.т.н., проф. В. Е. Жидкова. Ставрополь, 2014. Ч. 1. С. 158–162.

5. Литвин Д. Б., Цыплакова О. Н., Родина Е. В. Моделирование экономических процессов в пространстве состояний // Теоретические и прикладные аспекты современной науки : сб. науч. тр. по материалам Международной науч.-практ. конф. Ставрополь, 2014. С. 62–66.

6. Метод повышения точности измерения векторных величин / Д. В. Бондаренко, С. М. Бражнев, Д. Б. Литвин, А. А. Варнавский // НаукаПарк, 2013. № 6 (16). С. 66–69.

7. Гулай Т. А., Долгополова А. Ф., Литвин Д. Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 1 (9). С. 6–10.

8. Гулай Т. А., Долгополова А. Ф., Литвин Д. Б. Государственное регулирование в системе агробизнеса // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона : сб. науч. тр. по материалам Ежегодной 76-й науч.-практ. конф. (г. Ставрополь, 24 апреля 2012 г.) / СтГАУ. Ставрополь, 2012. С. 202–207.

9. Литвин Д. Б., Гулай Т. А., Долгополова А. Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем / Аграрная наука, творчество, рост. 2013. С. 263–265.

10. Долгополова А. Ф., Гулай Т. А., Литвин Д. Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности / Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. 2013. С. 68–71.

11. Литвин Д. Б., Дроздова Е. А. Математическое моделирование в среде визуального программирования // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. С. 77–78.

12. Литвин Д. Б., Шепеть И. П. Моделирование роста производства с учетом инвестиций и выбытием фондов // Социально-экономические и информационные проблемы устойчивого развития региона / Международная науч.-практ. конф. 2015. С. 114-116.

Код для цитирования: Скопировать