VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Исследование устойчивости нелинейных систем рассмотрим на примере модели простого маятника, так как уравнения маятника имеют важное практическое значение. Поведение некоторых не связанных непосредственно с маятником физических систем может моделироваться с использованием математической модели, похожей на уравнение маятника. Примером такой системы может служить модель синхронного генератора, соединенного бесконечной шиной.

l mg

Пусть l – длина стержня, m– масса груза. Предположим, что стержень абсолютно твердый и имеет нулевую массу. Пусть – угол отклонения стержня от вертикальной оси, проходящей через точку подвеса. Маятник свободно качается в вертикальной плоскости, и груз маятника совершает круговое движение с радиусом l. Для записи уравнения движения маятника определим

силы, действующие на маятник. В первую очередь это сила тяжести mg, где g– гравитационная постоянная. Имеется также сила трения, препятствующая движению, которую будем полагать пропорциональной скорости вращения (коэффициент пропорциональности k). Используя второй закон Ньютона получаем уравнение движения маятника для продольного движения:

.

Обозначив в качестве переменных и , запишем уравнения состояния в следующем виде:

(1)

Для нахождения точки равновесия положим и решим систему уравнений

относительно х и у. С физической точки зрения маятник имеет только два положения равновесия (0; 0) и (π; 0), которые существенно отличаются друг от друга. Маятник может легко установиться в нижнем положении равновесия (0; 0) и не может удерживаться в верхнем положении (π; 0), так как любое малое возмущение выведет его из этого состояния. Отличие этих дух состояний заключается в различных свойствах устойчивости, присущих этим состояниям.

Рассмотрим метод исследования на устойчивость системы (1) с помощью построения фазового портрета в математическом пакете Maple. При этом будем пользоваться понятиями устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову, введенные в [1, с. 152]. Будем так же пользоваться классификацией точек покоя, приведённой в [1, с. 155-157].

Рассмотрим частный случай системы (1) при . Фазовый портрет этой системы получен с помощью компьютерного моделирования. Ниже приводятся расчеты, произведенные в математическом пакете Maple.

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Анализируя полученный фазовый портрет, можно сделать следующие выводы:

• характерные особенности качественного поведения рассматриваемой системы могут быть изучены в полосе в силу периодичности по х с периодом 2π;

• траектории в окрестности точек равновесия (0, 0), (2π, 0) и (-2π, 0) и т.д. демонстрируют качественное поведение, характерное для траекторий в окрестности устойчивого узла;

• траектории в окрестности точек равновесия (π, 0) и (-π, 0) и т.д. демонстрируют качественное поведение, характерное для траекторий в окрестности седловой точки.

Таким образом, фазовые портреты, полученные в рассматриваемом примере, показывают, что качественное поведение в окрестности каждой точки равновесия похоже на качественное поведение, которое наблюдается при исследовании линейных систем [1, с. 155-157].

Такое поведение вблизи точек равновесия может быть обнаружено без построения фазовых портретов исследуемой нелинейной системы. Качественное поведение системы (1) может быть определено посредством её линеаризации в окрестности точек равновесия [2, с.53-57]. Соответствующие расчёты для нахождения собственных чисел якобиана, вычисленного в точках (0, 0) и (π, 0), выполнены в математическом пакете Maple.

>

>

>

>

>

>

Так как в точке равновесия (0, 0) якобиан имеет собственные числа , то эта точка является устойчивым фокусом. В точке (π, 0) собственные числа якобиана равны . Поэтому (π, 0) – седловая точка.

Таким образом, качественное исследование точек равновесия простого маятника может быть проведено с помощью построения фазового портрета и с использованием соответствующей линеаризованной модели.

Библиографический список

1. Елецких И.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для вузов (Гриф УМО) / И. А. Елецких, Р. А. Мельников, О. А. Саввина. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. - 253 с. - ISBN 5-94-809-177-6: 143-00.

2. Халил Х.К. Нелинейные системы. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. – 832 с. – ISBN 978-5-93972-724-2.

Код для цитирования: Скопировать