VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В последнее время все большее значение приобретает проведение калибровки в рабочих условиях эксплуатации средств измерений (СИ). Это вызвано стремлением владельцев получить калибровочную характеристику СИ в реальных условиях их применения [1].

Кроме того, целесообразность калибровки в рабочих условиях эксплуатации СИ связана с рядом причин, описанных в [1, 2]. К ним относятся:

‑ отсутствие затрат (временных и финансовых) на транспортировку СИ к месту калибровки и обратно;

‑ простой СИ в ожидании очереди калибровки.

При этом необходимо убедиться в работоспособности эталона в рабочих условиях эксплуатации СИ, а также учитывать, что неопределенность измерений в рабочих условиях эксплуатации СИ, как правило, превышает неопределенность измерений в нормальных условиях [2].

Однако, условия эксплуатации СИ могут отличаться от условий, в которых проведена его калибровка. Поэтому необходимо провести калибровку в нескольких точках диапазона измерений СИ и в нескольких точках диапазона изменений влияющих величин, чтобы затем распространить имеющуюся характеристику на весь диапазон измерений СИ и область рабочих условий его эксплуатации.

Калибровочная характеристика СИ может быть задана в табличной, графической или аналитической форме. На результат калибровки оказывают влияние условия, уникально сложившиеся в момент проведения измерений, показателей точности применяемого эталона, а также неопределенности измерений.

Предположим, что проведена калибровка СИ в нескольких точках его диапазона измерений. При этом величина, воспроизводимая калибратором (используемым в качестве рабочего эталона), подлежала прямым многократным измерениям в _ точках диапазона измерений с числом измерений _ в каждой точке. Результаты эксперимента представлены в таблице 1, в последнем столбце которой приведены средние значения результатов измерений в i-й проверяемой точке диапазона измерений СИ.

Таблица 1. Результаты эксперимента
Значение входной величины	Номер измерения				Среднее значение результатов измерений
	1	2	…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…

Калибровочная характеристика СИ может быть представлена в виде:

_ (1)

где _ – результат измерений;

_‑ значение входной величины x;

_ ‑ коэффициенты чувствительности калибровочной характеристики.

_ – значения влияющих величин.

Задача состоит в определении коэффициентов чувствительности калибровочной характеристики. Это позволит оценить результат калибровки в произвольной точке диапазона измерений СИ при произвольном сочетании значений влияющих величин, уникально сложившихся в момент калибровки.

Для определения коэффициентов чувствительности воспользуемся методом многомерного регрессионного анализа (ММРА) [3, 4].

Не снижая общности, аппроксимируем калибровочную характеристику полиномом второго порядка и выберем в качестве влияющего фактора лишь температуру, т.к. ее изменение оказывает наиболее значимое влияние на результат измерений.

Оценим минимум суммы квадратов «невязок» S:

_ (2)

где _ ‑ значение температуры в момент калибровки.

Вычислим частные производные по каждому из коэффициентов влияния:

_ (3)

_ (4)

_ (5)

_ (6)

Приравняв производные к нулю, получим систему уравнений: Систему будем решать методом Крамера [5]. В результате получим выражения для коэффициентов чувствительности_, _,_,_.

Указанная процедура достаточно трудоемка. Проверим, возможно ли упростить вычисления за счет раздельного определения коэффициентов чувствительности _ и _? Для этого проведем два активных эксперимента:

первый – по определению коэффициентов калибровочной характеристики при фиксированном (произвольном) значении влияющей величины;

второй – по определению коэффициентов влияния влияющей величины при фиксированном значении входной величины.

При этом коэффициенты калибровочной характеристики могут быть найдены методом наименьших квадратов [5] вычислением определителя третьего порядка.

Коэффициент влияния температуры может быть найден из выражения:

_ (7)

где _ ‑ значения влияющей величины в начале и в конце диапазона ее изменения;

_ ‑ значения выходной величины _ при фиксированном (произвольном) значении входной величины в начале и в конце диапазона изменения влияющей величины соответственно.

Очевидно, при активном эксперименте для определения коэффициентов _ калибровочной характеристики целесообразно проводить измерения в k точках диапазона изменения входной величины _, а для определения коэффициента влияния – в двух точках: в начале и в конце диапазона изменения влияющей величины при фиксированном (произвольном) значении входной величины.

Таким образом, при пассивном эксперименте необходимо проводить измерения в k∙p точках, при активном ‑ число точек может быть сокращено до k+2.

С целью оценивания адекватности результатов, полученных в ходе активного эксперимента, было проведено моделирование в среде Microsoft Excel.

Модель строилась в предположении, что выполнялась калибровка портативного калибратора в следующих пяти точках его диапазона воспроизведения: 4, 8, 12, 16 и 20 мА для трех значений температуры окружающей среды (0, 23 и 50 °С) с помощью климатической камеры.

Предположим в модели наличие следующих составляющих погрешности:

‑ аддитивной (коэффициент _);

‑ мультипликативной, определяемой коэффициентом _;

‑ нелинейности, описываемой коэффициентом _;

‑ дополнительной, вызванной влиянием температуры на аддитивную погрешность (коэффициент _);

‑ дополнительной, вызванной влиянием температуры на мультипликативную погрешность (коэффициент _).

Случайные погрешности могут быть минимизированы за счет проведения многократных измерений. За результат измерений будем принимать среднее арифметическое значение результатов многократных измерений.

Тогда модель калибровочной характеристики будет иметь вид:

_ (8)

где _ ‑ температура градуировки.

Коэффициенты _, _, _ будут определяться методом наименьших квадратов вычислением определителя третьего порядка.Затем, подставив найденные коэффициенты _ в выражение (8), сможем определить коэффициенты _, _ вычислением определителя второго порядка.

По итогам моделирования проводилось сравнение значений _, рассчитанных по формуле (8) с заданными. При этом коэффициенты чувствительности определялись двумя способами: первый – в результате применения метода многомерного регрессионного анализа; второй – при раздельном нахождении коэффициентов _, _, _ методом наименьших квадратов для температуры градуировки и нахождении коэффициентов _, _ для фиксированного значения входной величины.

Полученные значения коэффициентов для одной из реализаций сведены в таблицу 2.

Таблица 2. Результаты моделирования

Коэффициенты	Заданные значения	ММРА	МНК (при 23 оС, 12 мА)
	-0,03000	-0,030732	-0,03042
	0,00100	0,001157	0,001068
	0,00400	0,003994	0,003998
	-0,00035	-0,000354	0,000352
	-0,001400	-0,001400	-0,001424

В таблице 3 приведены максимальные отклонения калибровочных характеристик от заданных для двух способов при различных фиксированных значениях температуры.

Анализ таблицы 3 показывает, что отклонение расчетной калибровочной характеристики, построенной методом наименьших квадратов на плоскости, несколько превышает отклонение расчетной характеристики по методу ММРА. Активный эксперимент по определению коэффициентов _ целесообразно проводить в области нормальных значений влияющих величин, при этом отклонение расчетной калибровочной характеристики от заданной не превышает 0,01%.

Таблица 3. Максимальные отклонения калибровочных характеристик от заданной, мкА

ММРА	МНК
	0 оС	23 оС	50 оС
0,3	0,5	0,7	0,9

Исходя из критерия ничтожной погрешности [6], метод наименьших квадратов на плоскости может быть признан удовлетворительным для определения коэффициентов чувствительности калибровочной характеристики. Этот метод позволит уменьшить число измерений, что сократит время калибровки и сэкономит ресурсы.

Литература:

[1] М.В. Бержинская, А.А. Данилов, Ю.В. Кучеренко, Н.П.Ординарцева. О калибровке средств измерений в рабочих условиях эксплуатации Сборник докладов 23-гоНационального научного симпозиума с международным участием “Метрология и Метрологическое Обеспечение 2013”, 9-13 Cентября 2013 г., Созополь, ТУ – София, Болгария 2013, ISSN 1313-9126, с.443-447.

[2] М.В. Бержинская, А.А. Данилов, Ю.В. Кучеренко, Н.П. Ординарцева. Калибровка средств измерений в рабочих условиях, Метрология №1, (2014), ISSN 0132-47-13, 19-22 с.

[3] Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. Эконометрика. Дело, Москва, 2004, ISBN 978-5-7749-0459-4, 576 с.

[4] А.Л. Померанцев. Хемометрика в Excel. ТПУ, Томск, 2014, ISBN 978-5-4387-0374-7, 435 с.

[5] МИ 2175-91 ГСИ. Градуировочные характеристики средств измерений. Методы построения. Оценивание погрешностей.

[6] И.А. Зограф, П.В. Новицкий. Оценка погрешностей результатов измерений. Энергоатомиздат, Ленинград, 1991, ISBN 5-283-04513-7, 304 с.

Бержинская Марина Викторовна, кандидат технических наук, докторант, доцент кафедры «Информационно-измерительная техника и метрология» Пензенского государственного университета; Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40, 8-412-368222, [email protected]

Вязовская Елена Юрьевна, студентка кафедры «Информационно-измерительная техника и метрология» Пензенского государственного университета, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40, 8-412-368222, [email protected]

Код для цитирования: Скопировать