VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Необходимость в решении дифференциальных уравнений возникает во многих  прикладных задачах. В своей статье мы рассмотрим применение теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

При решении дифференциальных уравнений первого порядка можно пользоваться моделями: модель естественного роста выпуска; динамическая модель Кейнса; неоклассическая модель роста.

Рассмотрим более подробно динамическую модель Кейнса.

Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) - соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения:

(1)

где a(t) - коэффициент склонности к потреблению; b(t) - автономное потребление; k(t) - норма акселерации.

Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу - этот баланс отражен в первом уравнении системы (1). Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве плюс конечное потребление - эти составляющие показаны во втором уравнении системы (1). Размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t.

Подставим выражения для S(t) из второго уравнения  и I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка для функции Y(t):

Y' = .

(2)

Примем основные параметры задачи a, b, k за постоянные числа. Тогда уравнение (2) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Y' = .

(3)

В качестве частного решения уравнения (3) возьмём равновесное решение, когда Yꞌ=0, т.е. .

Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (3) имеет вид:  + C .

 

Литература:

1.    Светличная В.Б., Мальцев А.В., Рубцов А.А. ПОИСК ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ИЗВЕСТНЫМ ЧАСТНЫМ РЕШЕНИЯМ // Современные наукоемкие технологии. - 2014. - № 5 (2). - С. 199-200;

URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=10002680

2.    Светличная В.Б., Матюнина Е.В. РАЗНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ // Современные наукоемкие технологии. - 2014. - № 5 (2). - С. 195-196;

URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=10002676

3.    Стольникова Ю.С., Поливанова А.Е., Шошина В.О., Агишева Д.К., Зотова С.А. ФУНКЦИИ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. - 2014. - № 5 (2). - С. 200-201;

URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=10002682

4.    Любимова О.В., Самодьянова А.С., Матвеева Т.А. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ // Успехи современного естествознания. - 2012. - № 4 . - С. 49-49;

URL: www.rae.ru/use/?section=content&op=show_article&article_id=9999089

Код для цитирования: Скопировать