VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В курсе математического анализа изучается числовые последовательности или функции натурального аргумента (ФНА). ФНА -это функция, область определения которой состоит из натуральных чисел.

Например: Рассмотрим функцию .

По определению факториал числа (обозначается n!, произносится эн факториал) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

Её значения

образуют некоторую числовую последовательность, и соответственно факториал является функцией натурального аргумента. Функции натурального аргумента еще называют целочисленными функциями.

1. Функции «пол» и «потолок» и их свойства

Пусть множество всех натуральных чисел, т.е. множество всех целых положительных чисел . Для любого где множество всех действительных чисел, определим следующие понятия:

x — наибольшее целое, меньше или равное x;

x — наименьшее целое, больше или равное x (рис.1).

Литературах, например, в их еще называют пол (floor) и потолок (ceil), соответственно.

Рисунок 1-График функции «пол», «потолок» и

Из определения ясно, что , . Отсюда следует, что

(1)

В целых точках и функции неубывающие, а значения их совпадают, т.е. — целое  . А если они не совпадают, то они отличаются на 1, т.е.

для всех не целых . (2)

Функции и являются отображениями друг друга относительно координатных осей, т.е.

, (3)

Из определений «пола» и «потолка» легко следуют свойства этих функций: и

(4)

Разность между и называется дробной частью x и обозначается

. Иногда называется целой частью , поскольку .

Докажем следующее свойство рассматриваемых функций:

(5)

Так как равно либо 0, либо 1, то равно либо , либо .

1. «Пол» и «потолок» как функции «пола» и «потолка»

Рассмотрим непрерывную, монотонно возрастающую функцию такую, что при целых значениях функций аргумент является целым. Тогда

(6)

и

(7)

всякий раз, когда определены функции,,.

Докажем, что

Случай 1: если , тогда .

Случай 2: если , тогда (в силу того, что функция монотонно возрастающая), а так как функция «пол» — не убывающая, то . Предположим, что , тогда существует такое число , что и (в силу непрерывности функции). Из условия следует, что — целое число. Это противоречит тому, что между и нет целых чисел. Значит, .

Докажем, что .

Случай 1: если , то .

Случай 2: если , то (в силу того, что функция монотонно возрастающая), а так как функция «потолок» — не убывающая, то . Предположим, что , тогда существует такое число , что и (в силу непрерывности функции ). Из условия следует, что — целое число. Это противоречит тому, что между и нет целых чисел. Значит, .

Рассмотрев , получаем полезное свойство:

и (8)

Например, при и получаем , т.е. троекратное деление на 10 с последовательным отбрасыванием цифр остатка — это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.

3. Формулы для подсчета целых чисел в заданном ограниченном числовом множестве

Рассмотрим следующие ограниченные числовые множества вида . Будем рассматривать указанные интервалы при условии .

Если и — целые числа, тогда интервал содержит ровно целых чисел: , аналогично интервал содержит целых чисел. Теперь если и произвольные вещественные числа, то из (4) следует, что

,

здесь — целое число.

Следовательно, интервал содержит ровно целых чисел, а интервал (, ] содержит ровно целых чисел.

Рассмотрим промежуток [, . Имеем (на основании свойств (4)). Отсюда следует, что рассматриваемый промежуток содержит ровно целых чисел: , , …, , .

Рассмотрим (, ), причём . Имеем . Отсюда следует, что рассматриваемый интервал содержит ровно целых чисел: , , …, , . Если не вводить дополнительное ограничение то получим, что пустой интервал (, ) содержит ровно целых чисел.

Подытожим установленные факты:

Интервал	Количество целых чисел	Ограничение
[, 	   + 1	  
[, )	  	  
(, ]	  	  
(, )	   1	

Код для цитирования: Скопировать