1. Экономические показатели, на изменение которых влияет фактор сезонности. Модели их прогнозирования
Когда экономические показатели представляют собой внутригодовые данные, в их изменении обычно наблюдаются устойчивые сезонные колебания. В одних случаях они могут быть вызваны сезонностью производства (сельское хозяйство, транспорт, торговля, сфера обслуживания и т.д.), в других - социально-экономическими факторами.
Уровни таких рядов, как правило, состоят из трех составляющих: трендовая, сезонная и случайная. Это значит, что на основную тенденцию изменения показателя налагается сезонная составляющая. Сезонная компонента представляет такие отклонения уровней ряда от тренда, которые имеют одинаковый характер и повторяются в одни и те же периоды года.
Для оценки воздействия фактора сезонности на изменение экономического показателя обычно достаточно содержательного анализа экономической природы показателя и графического отображения наблюдений за два-три года.
Измерение внутригодовых колебаний показателя может определяться (анализироваться) различными способами. Простейшим является вычисление удельного веса каждого уровня в суммарном годовом объеме. Полученные значения обычно усредняются по одноименным моментам времени (кварталам, месяцам, временам года), что позволяет получить более устойчивые оценки.
Другой способ - сравнение каждого наблюдения со среднегодовым уровнем соответствующего года. В результате такого сравнения получают так называемые коэффициенты сезонности. Если отклонения фактических уровней от среднего вычисляют в виде разности, то коэффициенты называются аддитивными, а если в форме отношения - мультипликативными. Достоинство данного способа - его простота, недостаток - он не учитывает наличие случайных колебаний и тенденцию изменения среднего уровня и сезонной волны. В какой-то мере уменьшает этот недостаток предварительное сглаживание и выделение тенденции при помощи скользящей средней.
Для прогнозирования показателей, на изменение которых оказывает влияние фактор сезонности, могут использоваться различные модели, например, авторегрессионные или модели Бокса-Дженкинса. Когда в уровнях ряда присутствует тенденция и сезонная составляющая, проще всего показатель прогнозировать, скорректировав модель тренда с учетов сезонных колебаний.
Для этих целей используют мультипликативную или аддитивную модели, которые имеют следующий вид:
мультипликативная
(1а)
аддитивная
(1б)
где - период времени, ;
- фактические уровни ряда;
- составляющая, характеризующая основную тенденцию (тренд);
- сезонная составляющая;
- случайная составляющая.
2. Технология прогнозирования по мультипликативной и аддитивной моделям
Процесс разработки прогнозов по мультипликативной и аддитивной моделям состоит из трех этапов и отличается только некоторыми нюансами.
Первый этап. Сглаживание фактических уровней ряда.
Выполняется для того, чтобы представить тенденцию изменения показателя и выделить сезонную составляющую.
Для сглаживания необходимо определить период сглаживания . Продолжительность этого периода следует принимать равной тому отрезку времени, через который повторяется однотипный эффект сезонности. Его величину определяют в результате качественного анализа экономического показателя и изучения закономерности изменения фактических уровней ряда, представленных графически. Если величина показателя измеряется помесячно, то продолжительность периода сглаживания скорее всего будет равна 12, хотя может быть и иной. Для квартальных данных или данных, собранных по временам года (зима, весна, лето, осень), период сглаживания будет равен 4.
Сглаженные уровни показателя рассчитывают по формуле:
, (2)
где равняется ;
изменяется от до .
Второй этап. Выделение сезонной составляющей.
Вначале выделяют сезонную и случайную составляющие уровней ряда:
(3а)
(3б)
Строго говоря, в этих формулах характеризует лишь часть случайной составляющей, так как другая ее часть содержится в уровнях ряда . Условность применяемой процедуры выделения сезонной составляющей состоит еще и в том, что при сглаживании теряется часть данных из предыстории.
Затем определяют величину сезонной составляющей уровней ряда для каждого – го периода года . Для этого по одноименным периодам года рассчитывают значения (как простую среднюю) и исключают из них . Так как при использовании мультипликативной модели сезонная составляющая колеблется около 1, а при использовании аддитивной модели – около нуля, то можно исключить, выполнив следующие условия:
(4а)
(4б)
Если для расчетов используется табличный процессор Excel, то выполнение условий (4а) и (4б) можно получить, воспользовавшись функцией Сервис - Поиск решения.
Анализируя величину сезонной составляющей, можно делать выводы о том, как сильно влияет сезонный фактор на изменение показателя и одинаково ли это влияние в одноименные периоды года на всей предыстории.
Уровни ряда без учета сезонной составляющей определяют так:
(5а)
, (5б)
где ; ; ; для каждого .
Третий этап. Расчет прогнозовТочечный и интервальные прогнозы рассчитывают на требуемый период упреждения прогноза . Например, менеджер туристической фирмы желает иметь информацию о том, какие объемы продаж путевок по сезонам года (зима, весна, лето, осень) можно ожидать в следующем году. В этом случае период упреждения прогноза будет равен четырем.
Расчет точечного прогноза состоит из расчета трендовой составляющей уровней ряда для периода и учета влияния сезонного фактора.
Параметры уравнения тренда находят по . Вид уравнения тренда подбирается таким образом, чтобы оно как можно точнее описывало изменение уровней ряда . В пакете Exсel для расчета параметров уравнения можно использовать функцию Сервис – Анализ данных – Регрессия.
Далее значение показателя, рассчитанное по уравнению тренда для периода , корректируют на соответствующую величину сезонной составляющей. Если сезонная составляющая не меняется от года к году в периоде предыстории, то корректировку проводят по формулам:
(6а)
(6б)
В противном случае величину для периода нужно определять по уравнениям тренда или по методу экспоненциального сглаживания.
Интервальный прогноз определяют так:
левая граница (7)
правая граница , (8)
где - доверительный полуинтервал.
Доверительный полуинтервал рассчитывают по формуле:
(9)
где - табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы ;
– остаточное среднеквадратическое отклонение.
, (10)
где – остаточные отклонения,
- среднее значение остаточного отклонения;
– длина периода предыстории.
Остаточные отклонения определяют так:
(11а)
(11б)
Если в периоде предыстории значения сезонной составляющей очень сильно колеблются от года к году, то для прогнозирования лучше использовать мультипликативную модель. В этом случае интервальный прогноз (при одной и той же доверительной вероятности) будет уже, чем при использовании аддитивной модели.
3. Пример расчета модели сезонности
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (у) жителями региона за 16 кварталов.
t |
y |
1 |
5,6 |
2 |
4,7 |
3 |
5,2 |
4 |
9,1 |
5 |
7 |
6 |
5,1 |
7 |
6 |
8 |
10,2 |
9 |
8,2 |
10 |
5,6 |
11 |
6,4 |
12 |
10,8 |
13 |
9,1 |
14 |
6,7 |
15 |
7,5 |
16 |
11,3 |
Строится поле корреляции:
Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем вспомогательную таблицу.
t |
yt |
yt-1 |
yt - y1cp |
yt-1 - y2cp |
(yt - y1cp)(yt-1 - y2cp) |
(yt - y1cp)2 |
(yt-1 - y2cp)2 |
1 |
5,6 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
4,7 |
5,6 |
-2,827 |
-1,547 |
4,372 |
7,990 |
2,392 |
3 |
5,2 |
4,7 |
-2,327 |
-2,447 |
5,693 |
5,413 |
5,986 |
4 |
9,1 |
5,2 |
1,573 |
-1,947 |
-3,063 |
2,475 |
3,790 |
5 |
7 |
9,1 |
-0,527 |
1,953 |
-1,029 |
0,277 |
3,816 |
6 |
5,1 |
7 |
-2,427 |
-0,147 |
0,356 |
5,889 |
0,022 |
7 |
6 |
5,1 |
-1,527 |
-2,047 |
3,125 |
2,331 |
4,189 |
8 |
10,2 |
6 |
2,673 |
-1,147 |
-3,065 |
7,147 |
1,315 |
9 |
8,2 |
10,2 |
0,673 |
3,053 |
2,056 |
0,453 |
9,323 |
10 |
5,6 |
8,2 |
-1,927 |
1,053 |
-2,029 |
3,712 |
1,110 |
11 |
6,4 |
5,6 |
-1,127 |
-1,547 |
1,743 |
1,269 |
2,392 |
12 |
10,8 |
6,4 |
3,273 |
-0,747 |
-2,444 |
10,715 |
0,558 |
13 |
9,1 |
10,8 |
1,573 |
3,653 |
5,748 |
2,475 |
13,347 |
14 |
6,7 |
9,1 |
-0,827 |
1,953 |
-1,615 |
0,683 |
3,816 |
15 |
7,5 |
6,7 |
-0,027 |
-0,447 |
0,012 |
0,001 |
0,200 |
16 |
11,3 |
7,5 |
3,773 |
0,353 |
1,333 |
14,238 |
0,125 |
сумма |
112,9 |
107,2 |
0,000 |
8,88E-16 |
11,191 |
65,069 |
52,377 |
среднее значение |
7,527 |
7,147 |
- |
- |
- |
- |
- |
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле:
.
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
t |
yt |
yt-2 |
yt - y3cp |
yt-2 - y4cp |
(yt - y3cp)(yt-2 - y4cp) |
(yt - y3cp)2 |
(yt-2 - y4cp)2 |
1 |
5,6 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
4,7 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
3 |
5,2 |
5,6 |
-2,529 |
-1,521 |
3,847 |
6,394 |
2,315 |
4 |
9,1 |
4,7 |
1,371 |
-2,421 |
-3,321 |
1,881 |
5,863 |
5 |
7 |
5,2 |
-0,729 |
-1,921 |
1,400 |
0,531 |
3,692 |
6 |
5,1 |
9,1 |
-2,629 |
1,979 |
-5,201 |
6,909 |
3,915 |
7 |
6 |
7 |
-1,729 |
-0,121 |
0,210 |
2,988 |
0,015 |
8 |
10,2 |
5,1 |
2,471 |
-2,021 |
-4,996 |
6,108 |
4,086 |
9 |
8,2 |
6 |
0,471 |
-1,121 |
-0,529 |
0,222 |
1,258 |
10 |
5,6 |
10,2 |
-2,129 |
3,079 |
-6,553 |
4,531 |
9,478 |
11 |
6,4 |
8,2 |
-1,329 |
1,079 |
-1,433 |
1,765 |
1,163 |
12 |
10,8 |
5,6 |
3,071 |
-1,521 |
-4,673 |
9,434 |
2,315 |
13 |
9,1 |
6,4 |
1,371 |
-0,721 |
-0,989 |
1,881 |
0,520 |
14 |
6,7 |
10,8 |
-1,029 |
3,679 |
-3,784 |
1,058 |
13,532 |
15 |
7,5 |
9,1 |
-0,229 |
1,979 |
-0,452 |
0,052 |
3,915 |
16 |
11,3 |
6,7 |
3,571 |
-0,421 |
-1,505 |
12,755 |
0,178 |
сумма |
108,2 |
99,7 |
0,000 |
-8E-15 |
-27,979 |
56,509 |
52,244 |
среднее значение |
7,729 |
7,121 |
- |
- |
- |
- |
- |
Следовательно
.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Лаг |
Коэффициент автокорреляции уровней |
1 |
0,19170 |
2 |
-0,51493 |
3 |
0,12718 |
4 |
0,98619 |
5 |
0,14482 |
6 |
-0,64868 |
7 |
-0,00647 |
8 |
0,96317 |
9 |
0,15824 |
10 |
-0,67735 |
11 |
-0,10469 |
12 |
0,94344 |
Коррелограмма:
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. значения «у» в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы налоговых поступлений.
2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.
t |
y |
итого за 4 квартала |
скользящая средняя за 4 квартала |
центрированная средняя |
оценка сезонной компоненты |
1 |
5,6 |
- |
- |
- |
- |
2 |
4,7 |
24,6 |
6,15 |
- |
- |
3 |
5,2 |
26 |
6,5 |
6,325 |
-1,125 |
4 |
9,1 |
26,4 |
6,6 |
6,55 |
2,55 |
5 |
7 |
27,2 |
6,8 |
6,7 |
0,3 |
6 |
5,1 |
28,3 |
7,075 |
6,9375 |
-1,8375 |
7 |
6 |
29,5 |
7,375 |
7,225 |
-1,225 |
8 |
10,2 |
30 |
7,5 |
7,4375 |
2,7625 |
9 |
8,2 |
30,4 |
7,6 |
7,55 |
0,65 |
10 |
5,6 |
31 |
7,75 |
7,675 |
-2,075 |
11 |
6,4 |
31,9 |
7,975 |
7,8625 |
-1,4625 |
12 |
10,8 |
33 |
8,25 |
8,1125 |
2,6875 |
13 |
9,1 |
34,1 |
8,525 |
8,3875 |
0,7125 |
14 |
6,7 |
34,6 |
8,65 |
8,5875 |
-1,8875 |
15 |
7,5 |
- |
- |
- |
- |
16 |
11,3 |
- |
- |
- |
- |
Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Показатели |
Год |
№ квартала |
|||
I |
II |
III |
IV |
||
1 |
- |
- |
-1,125 |
2,55 |
|
2 |
0,3 |
-1,8375 |
-1,225 |
2,7625 |
|
3 |
0,65 |
-2,075 |
-1,4625 |
2,6875 |
|
4 |
0,7125 |
-1,8875 |
- |
- |
|
Всего за квартал |
1,6625 |
-5,8 |
-3,8125 |
8 |
|
Средняя оценка сезонной компоненты |
0,554 |
-1,933 |
-1,271 |
2,667 |
|
Скорректированная сезонная компонента |
0,550 |
-1,938 |
-1,275 |
2,663 |
Для данной модели имеем:
.
Корректирующий коэффициент: .
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу.
Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
.
Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
t |
y |
y-S |
T |
T+S |
E=y - (T+S) |
E2 |
|
1 |
5,6 |
0,550 |
5,050 |
5,859 |
6,409 |
-0,809 |
0,654 |
2 |
4,7 |
-1,938 |
6,638 |
6,065 |
4,128 |
0,572 |
0,328 |
3 |
5,2 |
-1,275 |
6,475 |
6,271 |
4,996 |
0,204 |
0,041 |
4 |
9,1 |
2,663 |
6,438 |
6,478 |
9,140 |
-0,040 |
0,002 |
5 |
7 |
0,550 |
6,450 |
6,684 |
7,234 |
-0,234 |
0,055 |
6 |
5,1 |
-1,938 |
7,038 |
6,890 |
4,953 |
0,147 |
0,022 |
7 |
6 |
-1,275 |
7,275 |
7,097 |
5,822 |
0,178 |
0,032 |
8 |
10,2 |
2,663 |
7,538 |
7,303 |
9,966 |
0,234 |
0,055 |
9 |
8,2 |
0,550 |
7,650 |
7,509 |
8,059 |
0,141 |
0,020 |
10 |
5,6 |
-1,938 |
7,538 |
7,716 |
5,778 |
-0,178 |
0,032 |
11 |
6,4 |
-1,275 |
7,675 |
7,922 |
6,647 |
-0,247 |
0,061 |
12 |
10,8 |
2,663 |
8,138 |
8,128 |
10,791 |
0,009 |
0,000 |
13 |
9,1 |
0,550 |
8,550 |
8,335 |
8,885 |
0,215 |
0,046 |
14 |
6,7 |
-1,938 |
8,638 |
8,541 |
6,604 |
0,096 |
0,009 |
15 |
7,5 |
-1,275 |
8,775 |
8,747 |
7,472 |
0,028 |
0,001 |
16 |
11,3 |
2,663 |
8,638 |
8,954 |
11,616 |
-0,316 |
0,100 |
Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
.
Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени.
Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,9% общей вариации величины «у» по кварталам за 4 года.
Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об объемах потребления электроэнергии на 17-й и 18-й кварталы. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
.
Получим
.
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,
.
Т.е. в 17-й и 18-й кварталы следовало ожидать 9,710 и 7,429 ед. потребления электроэнергии соответственно.
Использованная литература
1. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели: Учеб. пособие для ВУЗов. – М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995. – 136 с., C. 70 –73
2. Кендэл М. Временные ряды. – Пер. с англ. и предисл. Ю.П. Лукашина. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 199 с., ил., С. 63
16