VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Построим модели для прогнозирования числа браков РФ в абсолютном выражении и в относительном – на тысячу человек населения. Для построения модели используем годовые данные по этим показателям за период с 2000 по 2013 годы. График динамики числа браков в абсолютном выражении приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Число браков в РФ, единиц.

График динамики числа браков на тысячу человек населения приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Число браков в РФ на тысячу человек населения

Показатели имеют схожую динамику. Оба показателя растут с течением времени. У обоих показателей есть «провал» в 2004 году и всплески в 2007 и 2011 годах.

Для прогнозирования числа браков в РФ применим одну из моделей адаптивного прогнозирования.

В основе всех адаптивных методов лежит идея о том, что при обработке временных рядов наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных.

Наиболее простым методом адаптивного прогнозирования является метод простого экспоненциального сглаживания, известная так же как модель Брауна. Предположим, что модель временного ряда имеет вид:

, где

- независимые случайные отклонения с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, т.е. , , для .

Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула

, где

– значение экспоненциальной средней в момент t;

α – параметр сглаживания, .

В случае, когда исследуемый ряд содержит линейную тенденцию, как в нашем случае, используется модель Хольта-Брауна. Прогноз по модели Хольта-Брауна на τ шагов вперед определяется выражением:

. (1)

При этом обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

, (2)

, (3)

, , (4)

, . (5)

.

Оптимальные значения для находятся экспериментальным путем, перебором возможных комбинаций этих параметров на сетке значений. Критерием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки или величина средней ошибки аппроксимации.

Начальные значения и можно взять коэффициенты линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов по всему временному ряду.

Построим модель Хольта-Брауна для числа браков в абсолютном выражении. В качестве начальных значений и возьмем коэффициенты линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов по всему временному ряду (с помощью функции ЛИНЕЙН):

, .

Далее для всех лет

1. произведем расчет значений соответствующих экспоненциальных средних по формулам (4), (5);

2. найдем оценки коэффициентов модели по формулам (2), (3);

3. осуществляется прогноз на одну точку вперед по формуле (1);

4. найдем отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируемого ;

5. найдем квараты отклоненй;

6. вычислим относительную ошибку .

Результаты расчетов поместим в таблицу

Годы	t	y	S1	S2	a1	a2	одношаговый прогноз	остаток	квадрат остатка	Относительная ошибка
	0		857976,782	781804	934149,55	25743,68
2000	1	897327	911955,77	856017,8	967893,74	18905,04	959893,2	-62566	3,9E+09	6,97%
2001	2	1001589	982019,49	932895,8	1031143,2	16602,05	986798,8	14790,2	2,2E+08	1,48%
2002	3	1019762	1041865,87	1009154	1074577,4	11055,34	1047745	-27983	7,8E+08	2,74%
2003	4	1091778	1107978,91	1086590	1129368,3	7228,85	1085633	6145,22	3,8E+07	0,56%
2004	5	979667	1130143,65	1153284	1107002,9	-7820,753	1136597	-156930	2,5E+10	16,02%
2005	6	1066366	1170561,28	1216389	1124733,4	-15488,19	1099182	-32816	1,1E+09	3,08%
2006	7	1113562	1214828,83	1277696	1151961,4	-21246,96	1109245	4316,79	1,9E+07	0,39%
2007	8	1262500	1289123,47	1345561	1232685,7	-19073,97	1130714	131786	1,7E+10	10,44%
2008	9	1179007	1325309,04	1408462	1242156,4	-28102,64	1213612	-34605	1,2E+09	2,94%
2009	10	1199446	1359151,37	1466841	1251461,3	-36395,4	1214054	-14608	2,1E+08	1,22%
2010	11	1215066	1389874,46	1520843	1258906	-44262,68	1215066	0,07343	0,00539	0,00%
2011	12	1316011	1440794,29	1576767	1304821,9	-45953,81	1214643	101368	1E+10	7,70%
2012	13	1213598	1453601,34	1624084	1283118,4	-57617,17	1258868	-45270	2E+09	3,73%
2013	14	1225501	1466818,29	1664752	1268884,4	-66894,59	1225501	-0,2006	0,04026	0,00%

Вычислим среднеквадратическую ошибку прогноза

и среднюю ошибку аппроксимации

.

Для подбора оптимальных значений α и , будем использовать сервис Поиск решения, установив в качестве целевых ячеек сначала среднеквадратичную ошибку прогноза, затем среднюю ошибку аппроксимации. Параметры α и будем брать из интервала (0; 1).

По критерию минимума среднеквадратичной ошибки получим α=0,263; . При этих значениях

Среднеквадратическая ошибка	64714,9703
Средняя ошибка аппроксимации	4,46%

По критерию минимума средней ошибки аппроксимации получим α=0,266; . При этих значениях

Среднеквадратическая ошибка	66410,6323
Средняя ошибка аппроксимации	4,09%

Остановимся на второй модели.

Результаты прогнозирования по модели представлены на рисунке 3.

Рисунок 3. Прогнозирование числа браков в РФ по модели Хольта-Брауна

Построим модель Брауна-Хольта для числа браков на тысячу человек населения. В качестве начальных значений и возьмем коэффициенты линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов по всему временному ряду (с помощью функции ЛИНЕЙН):

, .

Результаты расчетов поместим в таблицу

Годы	t	y	S1	S2	a1	a2	одношаговый прогноз	остаток	квадрат остатка	Относительная ошибка
	0	y	5,895	5,343	6,447	0,187	прогноз
2000	1	6,2	6,274	5,861	6,688	0,140	6,634	-0,4343	0,1886	7,00%
2001	2	6,9	6,758	6,396	7,120	0,123	6,828	0,07222	0,00522	1,05%
2002	3	7,1	7,191	6,931	7,451	0,088	7,243	-0,1428	0,02039	2,01%
2003	4	7,5	7,637	7,469	7,804	0,057	7,539	-0,0388	0,0015	0,52%
2004	5	6,8	7,800	7,935	7,666	-0,046	7,861	-1,061	1,1258	15,60%
2005	6	7,4	8,088	8,377	7,800	-0,098	7,620	-0,2203	0,04853	2,98%
2006	7	7,8	8,421	8,812	8,029	-0,133	7,702	0,098	0,0096	1,26%
2007	8	8,8	8,947	9,294	8,601	-0,117	7,897	0,90344	0,8162	10,27%
2008	9	8,3	9,228	9,746	8,709	-0,176	8,484	-0,1836	0,03373	2,21%
2009	10	8,4	9,474	10,167	8,782	-0,235	8,534	-0,1335	0,01783	1,59%
2010	11	8,5	9,694	10,555	8,833	-0,292	8,547	-0,0471	0,00222	0,55%
2011	12	9,2	10,053	10,955	9,151	-0,306	8,542	0,65839	0,43347	7,16%
2012	13	8,5	10,148	11,295	9,002	-0,388	8,845	-0,3449	0,11896	4,06%
2013	14	8,5	10,223	11,581	8,866	-0,460	8,614	-0,1136	0,0129	1,34%

По критерию минимума среднеквадратичной ошибки получим α=0,269; . При этих значениях

Среднеквадратическая ошибка	0,4435133
Средняя ошибка аппроксимации	4,09%

По критерию минимума средней ошибки аппроксимации получим α=0,284; . При этих значениях

Среднеквадратическая ошибка	0,4601543
Средняя ошибка аппроксимации	3,89%

Остановимся на второй модели.

Результаты прогнозирования по модели представлены на рисунке 4.

Рисунок 4. Прогнозирование числа браков в РФ на тысячу человек населения по модели Хольта-Брауна

Выводы:

• Построены модели Хольта-Брауна для адаптивного прогнозирования числа браков в абсолютном выражении и на тысячу человек населения в РФ.

• Средняя ошибка аппроксимации при прогнозировании числа браков в абсолютном выражении составила 4,09%.

• Средняя ошибка аппроксимации при прогнозировании числа браков на тысячу населения составила 3,89%.

• Построенные модели могут быть использованы для построения прогноза числа браков в РФ на год вперед.

• Прогноз на 2014 год числа браков составил 1202034 единиц.

• Прогноз на 2014 год числа браков на тысячу человек составил 8,282.

Использованная литература

1. Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели (учебник для бакалавриата и магистратуры) / Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 99-101.

2. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - 2-е издание, испр. и доп. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

3. Орлова И.В., Махвытов М.А Прогнозирование выдачи ипотечных кредитов с помощью модели Брауна / Современные наукоемкие технологии. 2014. № 7-3. С. 22-24.

4. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. / учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности "Статистика" и другим экономическим специальностям / Москва, 2011. Сер. Вузовский учебник (3-е издание, переработанное и дополненное)

5. Турундаевский В.Б. Компьютерное моделирование экономико-математических методов / Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 1-2. С. 229-230.

Код для цитирования: Скопировать