VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Предметом изучения математики выступают разнообразные расчеты, а экономики – отношения, возникающие по поводу создания и распределения богатства. Казалось бы, что нет ничего, что связывает их, но в реальности, они имеют огромную связь между собой.

Покажем взаимосвязь между экономикой и математикой с помощью теории пределов.

В операциях, которые имеют связь с непрерывными явлениями, применяют непрерывные проценты.

Y = L( 1 + u) n

Это выражение называется формулой сложных процентов.

L - начальная сумма; u – ставка; Y – конечная сумма (конец z -го годa).

Сложные проценты очень тесно связаны с геометрической прогрессией. В реальности часто сталкиваются с такой задачей: по имеющемуся Y, которое будет уплачено через nлет, нужно узнать сумму полученной ссуды L. Здесь сумма Y является дисконтируемой, а дисконт – это разность между «Y» и «L». Величина L, находимая из дисконтирования Y именуется современной, величиной Y. Отсюда:

L = Y(1+u)z => limz→∞L= limz→∞ Y(1+u)z = 0.

Если проценты начисляются k раз в году, то:

Y = L (1 + u/k) ^kя.

k –число интервалов зачисления в году. Ниже k => больше интервалы времени между начислением процентов. При k → ∞ имеем:

Y = limk→∞ L (1 + u/k) ^kz = L limk→∞ ((1 + u/k) ^k ) n.

Так как limk→∞ (1 + u/k) ^k= e ^u, то Y = L e ^un.

Потоки плaтежей. Финaнсовая рента.

Обычно предусматривается множество платежей в операциях. Отдельные элементы ряда, и сам ряд платежей, именуется потоком платежей. Элементы потока являются или отрицательными, или положительными величинами. Финансовая рента – это когда элементы потока положительны, период времени – постоянен.

Пример 1. Длительностью z лет в конце года, в банк вносится 10 тыс. долларов, проценты зачисляются по окончанию года со ставкой в 7%. Первый взнос к концу срока будет составлять 100² * 1.07 ², второй взнос будет 100 ²* 1,07 ¹. В конце, мы имеем ряд чисел: 100 ²* 1.07 ²; 100 ²* 1.07; 100 ². Конечная величина будет являться суммой этого ряда. Формула для ренты за год, с увеличенной суммой. Y – увеличенная сумма ренты, W – размер элемента, u– ставка, z – время (годы). Рентные элементы будут давать проценты z - 1, z - 2,.., 2, 1 и 0 лет, увеличенная величина элементов составит:

W (1 + u) ^{z - 1}, W (1 + u) ^{z - 2},..., W (1 + u), W.

Если записать ряд с конца, то мы увидим, что он - геометрическая прогрессия со знаменателем (1 + u) и первый элемент - W. Теперь найдем сумму элементов данной прогрессии.

Отсюда: Y = W * ( (1 + u) ^z - 1) / ( (1 + u) - 1) = W * ( (1 + u) ^z - 1) / u.

Возьмем Y _{z; u}= ( (1 + u) ^z - 1) / u – это коэф. увеличения ренты.

Если проценты зачисляются k раз в год, то

Y = W * ((1 + u / k) ^kz - 1) / ( (1 + u / k) ^k - 1).

Величина j _{z; u}= (1 - (1 + u) ^{- z} ) / u – коэф. приведения ренты. При z → ∞, он показывает, во сколько раз современная величина ренты превышает ее элементы:

limz→∞j _{z; u}= limz→∞ (1 - (1 + u) ^{- z} ) / u =1 / u.

Список литературы:

1. Гoрбунова Р.И., Мaкаров С.И., Кургановa М.В., Мищенко М.В., Нуйкинa Е.Ю., Сeвастьянова С.А., Сeменова М.М., Сeргеева Л.В., Уфимцeва Л.И., Фомин В.И., Чeркасова Т.Н., Чупрынoв Б.П. Матeматика для экономистов Задачник. Учеб.-практ. пособие / Под редакцией Мaкарова С.И., Мищенкo М.В. М.: КНOРУС, 2008. — 360 с.

Код для цитирования: Скопировать