VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Теорема Пифагора является центральной в школьном курсе геометрии. Но Пифагора нельзя считать первым, кто открывал ее. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до Пифагора. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы, а по другой - доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал. Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих в истории математики. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Рассмотрим некоторые доказательства теоремы Пифагора

Доказательство1. Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе АС построен квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:

Доказательство 2. Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Построим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (см. рис.1). Затем построим два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b). В каждом из квадратов выполним построения (см.рис. 2 и 3). В первом − четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получим два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b.

Во втором квадрате − четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b).

Таким образом имеем: После проведения необходимых алгебраических вычислений получим: При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле . Т.е.

– теорема Пифагора доказана.

Доказательство 3. Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Внутри квадрата построены четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата (она же гипотенуза) обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a−b). Площадь внешнего квадрата . И одновременно для внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников:

Из равенства получим формулу теоремы Пифагора . Теорема доказана.

Доказательство 4. Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Рис.4. Рис. 5.

В нем используется чертеж, который был на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше. Если мысленно отрезать от чертежа на рис.4 два прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с (гипотенузами приложить к гипотенузам треугольников) то получится фигура под названием «стул невесты» (рис.5). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a. Тем самым древнекитайские математикик выводу, что .

Заключение

Материал по использованию доказательств теоремы Пифагора можно применять при организации внеурочной деятельности обучающихся. Методы доказательства теоремы Пифагора накопленные в древности помогут ученику приобщиться к истории науки и повысят интерес к изучению математики.

Библиографический список:

1. Киселёв А.П., Геометрия. Часть первая. Планиметрия. − М.:Просвещение,1969.

2. Скопец З.А.Геометрические миниатюры. − М.: Просвещение,1990.

3. http://bankreferatov.ru/

4. http://kvant.ru/

Код для цитирования: Скопировать