VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Как было показано в работе [1], для множества подобных треугольников справедлива следующая теорема:

Теорема 1.

Между точками луча, образованного парой мнимых пересекающихся плоскостей

(1)

и множеством подобных треугольников с углами при вершинах, существует взаимнооднозначное соответствие.

Для построения вещественной прямой, заданной уравнением (1), запишем ее уравнение в параметрической форме

.

С учетом теоремы синусов

,

– радиус описанной окружности,

Так как

,

то

.

В треугольнике со сторонами и углами при вершинах , радиус описанной окружности и параметр связаны отношением

.

Откуда

Доказательство обратного утверждения теоремы 1 следует из соотношений

полученных с использованием формулы Герона.

Теорема 2.

Если синусы углов треугольника выражаются рациональными числами, то его стороны также рациональны.

Из

следует, что при и рациональных значениях синусов углов, стороны треугольника выражаются рациональными числами и найдется подобный ему целочисленный треугольник.

Теорема 3.

У треугольника с рациональными синусами углов площадь выражается рациональным или целым числом.

Следствие.

Множество треугольников Герона является подмножеством треугольников с рациональными синусами углов.

Определение. Базовым треугольником называется треугольник, стороны которого удовлетворяют условиям

,

.

Теорема 4. Для любого треугольника существует базовый. Все подобные ему треугольники находятся из соотношений

,

1. Берестова Е.В., Митюшов Е.А. Геометрический смысл пары мнимых пересекающихся плоскостей (статья в настоящем сборнике).

 

 

 

Код для цитирования: Скопировать