VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

            Вряд ли можно найти студента, который никогда бы не слышал о том, что наряду с формулой для решения квадратных уравнений есть формула для решения кубических уравнений. Обычный запас сведений об этой формуле сводится к тому, что она имеется, но настолько громоздка, что знать её совершенно не нужно. Во всяком случае, в школьных учебниках этой формулы нет.

            Однако иной студент, сталкиваясь с задачами, которые сводятся к кубическим уравнениям, начинает сомневаться в полной безопасности такой формулы, сколь бы сложна она ни была. Окружающая эту формулу таинственность подогревает его любопытство - и он принимается искать ее в разных книгах и справочниках. Там он находит примерно следующее.

Как выглядит формула?

            Кубическим уравнением называется уравнение вида

+                                                        (1)

Для его решения мы прежде всего заметим, что простым преобразованием можно уничтожить член с . Для этого достаточно положить  . Тогда

 

Таким образом, всякое кубическое уравнение сводится к уравнению без квадратного члена, или, короче, к уравнению вида 

                                                                 (2)

А такое уравнение решается по формуле

                                           (3)

И дальше идёт то, что в школе называют «выводом формулы» - полстранички  выкладок. Что - то в этой формуле неблагополучно.

Оставим пока «вывод» в стороне и попробуем применить эту формулу к решению конкретных уравнений.

Первый пример.

Здесь p=6 и q=-2. Наша формула дает

 

            В школе нас приучили, что все корни должны извлекаться, и полученный ответ может показаться вам недостаточно красивым.  Но согласитесь, что никакой подбор  не помог бы вам узнать, что эта разность двух кубических корней является решением такого простого уравнения. Так что этот результат можно записать нашей формуле в актив.

Второй пример.  

Формула (3) даёт:

 

Ответ более громоздок. Это число можно найти приближенно с помощью таблиц, и чем точнее будут таблицы, тем ближе будет результат к единице. Причина проста: это число равно единице. Но из формулы этого не видно, и это, пожалуй, недостаток формулы: ведь решая квадратные уравнения с целыми коэффициентами, мы сразу видим, является ли решение рациональным.

Третий пример.

Сразу видно, что это уравнение имеет три решения: -1, -2 и 3. Но попробуем решить его по формуле. Раскрываем скобки:

 

и применяем формулу (3):

 

            Под знаком квадратного корня стоит отрицательное число. Сталкиваясь с подобной ситуацией при решении квадратных уравнений, мы делаем вывод, что уравнение не имеет решений («уравнение не имеет действительных решений»,-скажут более образованные; но образованность в данном случае мало помогает). Однако, мы знаем, что уравнение решения имеет, даже целых три. Формула наша в данном случае просто провалилась.

            Эти и другие подобные примеры наводят на мысль, что причина непопулярности формулы (3) лежит не в ее громоздкости (не так уж она и громоздка!), а в ее надежности: то она вовсе не дает решений, то дает их в неудовлетворительной форме.

Такое заключение,  в общем, справедливо. Попытаемся все же разобраться, что дает и что не дает наша формула. Начнем с самого простого.

Теорема

Если выражение   неотрицательно, то правая часть формулы (3) является решением уравнения (2).

Доказательство. Положим 

 ,

 .

Очевидно, правая часть формулы (3) как раз равняется сумме :

 .

Теперь подставим  в левую часть уравнения (2):

 

Теорема доказана.

Сколько решений имеет уравнение (2)?

Это естественный вопрос: ведь решить уравнение - значит найти все его решения, а для этого полезно знать, сколько оно имеет решений.

Выясним сначала, при каких x функция    возрастает, а при каких - убывает. Для этого сравним значения нашей функции в точке х и в точке , где  -маленькое положительное число. Что больше:

         или       

Вычисляем разность:

.

Знак этой разности определяется знаком сомножителя  (поскольку ). Что же касается этой суммы, то:

1) если , то при достаточно малом  она положительна;

2) если , то при достаточно малом  она отрицательна.

Таким образом,

1)      если , то функция  в достаточно небольшой окрестности точки х возрастает;

2)      если , то убывает.

Далее, хорошо известно, что

1)      если p>0, то 0 при любом х;

2)      если p<0, то  0 при и при , и

при   -

Поэтому

1)      если p>0, то функция  возрастает при всех x;

2)      если p<0, то функция  возрастает при  , и убывает при 

-    и снова возрастает при

Заметим, что при достаточно большом x выражение   заведомо положительно, а при достаточно большом по модулю отрицательном х оно заведомо отрицательно.

1.      Уравнение имеет одно решение, если  p>0;или если  p<0 и значения функции в точках   ,   имеют одинаковые знаки;

2.      Если же p<0 и значения функции в точках   ,     имеют противоположные знаки, то уравнение имеет три решения.

Можно сформулировать этот результат в более удобной форме. Для этого чтобы узнать, одинаковые или противоположные знаки имеют значения функции в точках  ,   , можно вычислить эти значения и перемножить их: если произведение положительно, то знаки сомножителей одинаковы, а если оно отрицательно, то - различны. Проделаем это вычисление:

 

Итак, если p<0 и >0, то решение одно, а если p<0 и <0, то решений три. Заметив, что если p>0, то уже заведомо >0, мы можем сформулировать результат так.

Если >0, то уравнение (2) имеет одно решение.

Если <0, то уравнение (2) имеет три решения.

Неожиданный вывод

Заметили ли вы, что у нас получилась удивительная вещь?

Ведь выражение  только на несущественный (с точки зрения знака) множитель отличается от опасного подкоренного выражения в формуле (3):

= .

Значит, именно тогда, когда уравнение имеет три решения, подкоренное выражение отрицательно, и формула не дает ничего (мы видели это на примере, но теперь ясно, что это не случайно). Если же уравнение имеет всего одно решение, то наша формула его не дает.

Итак, феномен, наблюдавшийся в примерах, получил свое объяснение. Осталось посмотреть только, нельзя ли что-нибудь все же выжать из нашей формулы, когда уравнение имеет три решения и под квадратным корнем оказывается отрицательное число.

Не помогут ли комплексные числа?

Всё, что написано дальше, рассчитано на читателя, знакомого с комплексными числами.

Впрочем, «знакомство» с комплексными числами, в сущности, есть не более чем привычка к употреблению определенных слов. Комплексные числа появились в математике примерно так же, как несколько раньше - отрицательные числа и дроби. Поскольку не из всякого действительного числа можно извлечь квадратный корень, удобно дополнить запас чисел  новым числом i, квадрат которого равен - 1 (как раньше, желая сделать универсальной операцию вычитания, ввели отрицательные числа). Вместе с i вводят числа вида a+bi, где а и b - действительные числа, и устанавливаются, что действия нд этими числами производятся по таким правилам:

 ,

 

(в последнем равенстве мы учли, что =-1). Построенные числа называются комплексными числами; числа a и b называются соответственно действительной или мнимой частью числа a+bi; два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части. Приведем ещё формулу Муавра (она нам понадобиться ниже):

 ,

которая является немедленным следствием формулы для перемножения комплексных чисел и известных тригонометрических формул.

Вернемся к формуле (3). В случае, когда  <0, можно попытаться найти решения уравнения (2) с ее помощью, извлекая кубические корни из комплексных чисел.

Извлечь кубический корень из комплексного числа a+bi - это значит решить уравнение , т.е. уравнение  . Последнее равенство означает, что

 

Система же эта различными способами приводится опять-таки к кубическому уравнению. Например, так:

 (из первого уравнения),

 ,

 

или, полагая  

                                            (4)

Конечно, можно снова обратиться к формуле (3). Но оказывается, что применение этой формулы к уравнению (4) всегда приводит к отрицательному выражению под квадратным корнем. Впрочем, это и не удивительно, поскольку, как легко доказать, кубический корень из комплексного числа имеет три значения.

Таким образом, на этом пути формулой (3) воспользоваться не удается. Но все же с её помощью  можно находить приближенные значения корней уравнения (2). Для этого нужно иметь, кроме таблиц квадратных и кубических корней, ещё тригонометрические таблицы и применить формулу Муавра, из которой следует, что

.

Кубический корень из комплексного числа a+bi с помощью этой формулы нужно искать так. Сначала представим a+bi в виде

 .

Затем находим такое a, что и    (это можно сделать, потому что  ).

 Искомый кубический корень запишется, тогда как  .

(Заметим, что a определено с точностью до слагаемого  и    имеет три значения - так и должно быть!)

Этим способом можно приближенно найти кубические корни, входящие в формулу (3). Впрочем, нам достаточно найти только действительную часть одного из них6 если один из двух корней равен c+di, то другой равен c-di (докажите это!) и их сумма равна 2с.

Но, пожалуй, этот способ решения кубического уравнения с помощью таблиц квадратных и кубических корней и тригонометрических таблиц ещё более громоздок и неточен (ведь все табличные значения определяются лишь с какой-то точностью, а при каждом арифметическом действии ошибка увеличивается), чем метод подбора и последовательных приближений, которым пользуются обычно.

Поэтому-то мы и не запоминаем формулы (3): для практического решения кубических уравнений она не приспособлена.

Заключение: зачем нужна формула (3)?

Значение формулы (3) заключается в том, что она дает ответ на классический вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах». Поясним это.

Первые иррациональные числа, с которыми нам приходится сталкиваться, - это корни (самое первое- ,  диагональ квадрата со стороной единица). Извлечение корней, вместе с арифметическими действиями, расширяет запас чисел (присоединяя к рациональным числам такие числа, как  и т.п.). Хватает ли этого расширенного запаса для решения алгебраических уравнений с целыми коэффициентами? Наша формула показывает, что для решения кубических уравнений хватает - во всяком случае, если мы допускаем в качестве подкоренных выражений не только действительные, но и комплексные числа.

Оказывается, что в радикалах решаются и уравнения четвертой степени; уравнения же пятой степени и выше неразрешимы в радикалах. 

Код для цитирования: Скопировать