Является ли разрешимое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемой группой. Оказалось, что разрешимое произведение упорядочиваемых групп вовсе не обязано быть упорядочиваемым. Контрпример строится для случая двуступенно разрешимого произведения упорядочиваемых групп.
Пусть группа с образующими и определяющими отношениями: является упорядочиваемой группой. Обозначив через фактор – группу группы по её коммутанту , через бесконечные циклические группы и , где целые числа, или I. Построим группу со следующими соотношениями:
где группа без кручения, причем, подгруппа ее является двуступенно разрешимой и
В самом деле,
Существенным является то, что , так
Далее инвариантная абелева подгруппа группы абелева группа.
Возьмем группу и бесконечную циклическую группу .Тогда отображение при котором где можно продолжить до гомоморфизма, так как если некоторое слово равно единице в , то образ этого слова равен единице в . Здесь символ обозначает двуступенно разрешимое произведение. Но в силу того, что действует нетождественно действует нетождественно на Получается, таким образом, что индуцирует автоморфизм второго порядка на группе и, следовательно, группа не является упорядочиваемой, действительно, полагая получаем:
, а это недопустимо.
Таким образом, класс упорядочиваемых групп незамкнут относительно разрешимых произведений.
Список литературы
Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы: монография А.И. Кокорин, В.М. Копытов. – М.: Наука, 1972. – 199 с.
Копытов В.М., Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость некоторых подгрупп упорядочиваемой группы // Алгебра и логика. Новосибирск, 1968. – Т.7. – №2. – С. 20-26.
Жерздева И.С., Мамаев И.И. Гомоморфизмы частично упорядоченных модулей // Современные наукоемкие технологии. 2013. №6. С. 68
Ледяева А.С., Мамаев И.И. Y-Простые линейно-упорядоченные модули // Современные наукоемкие технологии. 2013. №6. С. 76-77