VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Выведенное знаменитым французским математиком П. Фермой (1601-1665) каноническое уравнение окружности представляет широкий научный интерес в практическом приложении, так как часто применяется при вычислении различных задач экономического содержания.

В уравнении окружности содержатся основные сведения об этой фигуре, например, координаты её центра или длина радиуса. Это является необходимой информацией для построения данной геометрической фигуры. В других задачах, наоборот, условием является составление уравнения по исходным параметрам.

Приложение уравнения окружности к решению экономических задач отражает взаимосвязь аналитической геометрии и экономики.

Окружностью называют геометрическое место точек (множество всех точек) на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом.

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

.

Также существует нормальное уравнение окружности:

,

где - центр окружности, а - радиус.

Являясь кривой второго порядка, окружность удовлетворяет данному уравнению:, где ,.

Мы может точно сказать, что действительная кривая второго порядка является окружностью тогда и только тогда, когда:

1) коэффициенты при квадратах текущих координат равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат.

Остановимся на рассмотрении примера решения экономической задачи с использованием канонического уравнения окружности:

Два предприятия и , расстояние между которыми равно 200 км, производят некоторое изделие, заводская цена (руб) которого одна и та же для обоих предприятий. Транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия до потребителя составляют 9 руб/км, а от предприятия – 3 руб/км. Как следует разделить рынок сбыта, чтобы расходы потребителей были одинаковыми? Какому потребителю изделия, какого предприятия выгоднее покупать?

Решение данной задачи сводится, во-первых, к наглядному построению прямоугольной системы координат поместив начало координат в середине отрезка и направив ось абсцисс по лучу , а ось ординат перпендикулярно ему. Определим геометрическое место точек, в которых расходы потребителей на приобретение продукции предприятий и будут одинаковыми. Допустим, что потребитель располагается в точке с координатами . Тогда обозначим расстояния от точки до точек и как расстояние равное (км).

В таком случае расходы на приобретение единицы изделия предприятия будут равны , а предприятия - . По условию расходы потребителей должны быть одинаковыми, то . Преобразовав, получим, что

. (1)

Вычислим значения и , используя координаты точек , и :

.

Затем подставив в равенство (1) будем иметь: .

Отсюда получим уравнение: или .

Разделим обе части уравнения на 8, сгруппируем его члены по переменным и дополним до полного квадрата скобки. Тогда уравнение примет вид: .

Конечное уравнение есть уравнение окружности, с центром в точке , которая имеет координаты , и радиусом .

Для потребителей, находящихся на этой окружности, , значит, , расходы на приобретение изделия, как предприятия , так и предприятия одинаковы. Для потребителей, находящихся внутри круга, который ограничен данной окружностью, , следовательно, , поэтому расходы на приобретение изделий предприятия ниже. Также можно установить, что для потребителей, находящихся вне этого круга, ниже расходы на приобретение изделий предприятия .

Таким образом, рынок сбыта можно выгодно распределить на несколько экономичных частей таким образом: а) потребителям, находящимся на окружности, безразлично, изделия каких предприятий покупать; б) потребители, находящиеся внутри указанного круга, покупают изделия предприятия ; в) потребители, находящиеся вне круга, покупают изделия предприятия .

В заключение хотелось бы отметить, что для решения многих задач экономического профиля требуются математическая подготовка и знание теоретического материала. Следовательно, зная уравнение окружности, можно произвести анализ рынка сбыта и исследовать поведение потребителей (покупателей). Установить более выгодные продажи потребительского характера, а пользуясь в процессе решения формулой канонического уравнения окружности и некоторые из наиболее выгодных способов получения прибыли.

Список литературы

1.Краткий курс высшей математики. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., АСТ, Астрель, 2001.

2.Математика в экономике. Учебное пособие. Вербицкий В.А., Беспрозванная Т.Н., Дойхен Л.А., Кравченко Е.Н., Кудрявцева Е.В., Ясеновская И.В., Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 1999.

3. Мелешко С. В., Невидомская И. А. Использование инновационных образовательных технологий в самостоятельной работе студентов при изучении математических дисциплин//Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики: сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. - Ставрополь, изд-во «АГРУС», 2012

4. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению/Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита»: материалы Ежегодной научно-практической конференции, г. Ставрополь, 22-24 марта 2011 г. - Ставрополь: ООО «Альфа-Принт», 2011

Код для цитирования: Скопировать