VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Успех в решении задачи во многом определяется умением правильно извлекать информацию из ее условия и требования, вычленять отдельные элементы и комбинировать их, выводить следствия, переформулировать требование задачи, соотносить действия с наглядностью и с необходимыми преобразованиями содержания задачи. Поэтому формирование этих умений должно быть особой заботой учителя математики и осуществляться им систематически и целенаправленно. Также необходима разработка методики формирования этих умений уже на первых уроках, при изучении первых разделов курса, так как успешное усвоение материала последующих разделов и решение задач, содержащихся в них, предполагает владение школьниками указанными умениями [1], [3].

Данные психологии и наши наблюдения свидетельствуют о том, что в решении самых различных задач разными людьми проявляются некоторые общие закономерности, характеризующие решение задач как специфическую деятельность. Наряду с логической структурой решения задач, определяемой организацией исходных ее элементов, логикой необходимых преобразований, «можно говорить о наличии психологической структуры решения задач, выражающей присущее человеку строение интеллектуальной деятельности» [1].

Актуальность данной темы исследования заключается в том, что геометрические преобразования традиционно являются трудной темой для обучаемых и они лежат на основе выдвинутого Ф. Клейном принципа, позволяющего всё разнообразие геометрий понять с единой точки зрения и реализует связь школьного курса математики с математической наукой.

Целью исследования является подбор и разработка методических рекомендаций по использованию геометрических преобразований при решении геометрических задач. Исходя из указанной цели, можно выделить частные задачи, поставленные в данном исследовании:

1. на основе анализа литературы выявить основные методы решения планиметрических задач;

2. рассмотреть задачи и теоремы на использование геометрических преобразований;

3. изучить методические рекомендации по решению планиметрических задач методами геометрических преобразований.

Реализация теоретической модели задачи (упражнения) при построении конкретной системы задач (упражнений), формирующих тот или иной метод, предполагает, прежде всего, выделение действий, адекватных этому методу.

Так, при построении системы задач (упражнений) на геометрические построения необходимо выделить действия, адекватные деятельности применения преобразований в конкретных ситуациях. Выделение совокупности таких действий осуществляется путем анализа логических структур решений конкретных задач рассматриваемым методом. Обоснованием этому служит то факт, что логическая структура решения задачи является основой для проявления реального хода решения [1].

Выделенные посредством такого анализа действия определяют содержание задач (упражнений), в процессе выполнения которых формируется изучаемый метод. Таким образом реализуется способность задач (упражнений) выступать носителем содержания обучения математике.

Рассмотрим конкретную систему задач.

Система задач на геометрические преобразования.

Анализ решения задач методами симметрии, поворота, параллельного переноса и гомотетии позволил выделить требования, которые предъявляют эти методы мышлению решающего. Учащиеся должны уметь:

• строить фигуры, в которые переходят данные фигуры при симметрии, повороте, параллельном переносе и гомотетии;

• видеть соответственные при указанном преобразовании точки на соответственных при том же преобразовании фигурах;

• выделять элементы, определяющие преобразование: строить ось симметрии, центр поворота, определять угол поворота, направление параллельного переноса, его расстояние, находить центр гомотетии, вычислять его коэффициент;

• строить соответственные при указанном преобразовании точки на заданных произвольных фигурах;

• использовать специфические свойства преобразований [1].

Иерархия выделенных умений применять геометрические преобразования в конкретных ситуациях такова, что каждое последующее умение охватывает предыдущее и вместе с тем поднимает учащихся на новую, более высокую степень в овладении методом геометрических преобразований [1].

Исходя из перечисленных выше умений можно выделить соответственные виды задач, способствующие овладению методом геометрических преобразований:

1. Задачи на построение образов фигур при указанном преобразовании. В процессе выполнения задач этого типа формируются понятия осевой симметрии, поворота вокруг точки, центральной симметрии, параллельного переноса, гомотетии и умения строить образы различных фигур при заданных преобразованиях.

Примеры: 1) Отрезок AB, перпендикулярный прямой l, пересекает ее в

точке O так, что AO≠OB. Симметричны ли точки A и B

относительно прямой l?

2) Относительно какой из координатных осей симметричны

точки A7;2 и A'-7;2?

2. Задачи на выделение соответственных при указанном преобразовании точек на соответственные при том же преобразовании фигурах. Основное назначение задач такого типа заключается в формировании видения соответственных при некотором преобразовании точек на соответственных при том же преобразовании фигурах. Реализация этой цели предполагает формирование умений выделять соответственные точки на соответственных фигурах не только на материализованном этапе, выполняя непосредственные построения, но и в уме. При построении этой группы задач следует учитывать необходимость формирования пространственных представлений и творческого мышления учащихся.

Примеры: 1) Отрезки AB и A'B' симметричны относительно точки O.

Построить образ точки K, если K принадлежит отрезку AB.

2) Построить образ точки M при параллельном переносе,

переводящий отрезок AB в отрезок A'B'. Выполнить

построение несколькими способами [4].

3.Задачи на выделение элементов, определяющих преобразование. Задачи этого вида обеспечивают формирование умений выделять элементы, определяющие преобразование. В процессе выполнения этих задач усваиваются свойства оси симметрии, центра симметрии, центра поворота.

Примеры: 1) Найдите множество центров гомотетий, переводящих одну

данную прямую на другую, если коэффициент гомотетии

k=-1,5 (данные прямые параллельны).

2) Построить произвольный четырехугольник ABCD и

отметить некоторую точку A'. Построить четырехугольник,

симметричный данному относительно некоторой прямой,

так, чтобы образом точки A была точка A' [4].

4.Задачи на построение соответственных при преобразовании точек на любых заданных фигурах. Целью задач такого типа является формирование умения строить соответственные при заданном преобразовании точки на произвольных фигурах .

Примеры: 1) Найти на данных прямой и отрезке такие пары точек, что

одна из точек пары может быть отображена на другую

поворотом вокруг данной точки на 700.

2) На прямой и окружности построить соответственно такие

пары точек, чтобы одну точку пары можно было перевести

в другую гомотетией, центром которой является центр

данной окружности, а коэффициент гомотетии k=-12 [4].

Метод геометрических преобразований  средство обоснования некоторых отношений между объектами евклидовой геометрии (например, равенства, параллельности, подобия). Для доказательства теорем и решение задач на построение он (как частный случай математического моделирования, в котором один объект заменяется другим) выглядит следующим образом:

1. выбрать геометрическое преобразование, которое позволит обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;

2. выполнить выбранное преобразование так, чтобы один объект (или его часть) переходил в другой (новый, вспомогательный) объект, более удобный для исследования (или построения);

1. исследовать полученный новый (вспомогательный) объект и его свойства;

2. обосновать наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного преобразования [3].

Частные случаи метода геометрических преобразований  методы осевой и центральной симметрии, поворота, параллельного переноса часто используют для обоснования равенства фигур, параллельности (при осевой симметрии  перпендикулярности), отыскания кратчайшего расстояния; метод подобия  для отыскания (обоснования) отношений отрезков и углов.

Изучение материала линии геометрических преобразований имеет основной учебной целью осознание учащимися на том или ином уровне понятия геометрического преобразования пространства (плоскости, фигуры), понимание типов и примеров геометрических преобразований, способов их осуществления и идеи их применения в геометрии и к решению прикладных задач [3].

Материал о геометрических преобразованиях даст возможность ставить цели развития всех познавательных процессов, а в частности, образного, конструктивного и диалектического мышления, функционального стиля мышления, диалектического мировоззрения, раскрывать общенаучную и общекультурную роль математики, осуществлять эстетическое, экологическое воспитание, профессиональную ориентацию учащихся.

Общий прием решения задачи методом геометрического преобразования:

1. На этапе изучения содержания задачи уяснить взаимное расположение данных (данных и искомых) точек или фигур (или их частей и элементов);

2. На этапе анализа (поиска решения) – в предположении, что задача решена, сделать (если нужно) эскиз, установить связи между данными задачи и искомыми (точками, фигурами, их элементами или свойствами), выбрать геометрическое преобразование, которое позволит обосновать наличие того или иного отношения между объектами (точками, фигурами).

3. Указать (или выполнить) выбранное преобразование так, чтобы один объект переходил в другой (или построить вспомогательную фигуру)

4. В задаче на доказательство – обосновать наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного преобразования;

5) в задаче на построение – если нужно, преобразовать вспомогательную фигуру в искомую и провести доказательство как в п. 4 (а также исследование) [3].

Геометрические преобразования в учебниках не сконцентрированы в одной или нескольких темах, а вводятся постепенно, по мере накопления геометрических фактов, позволяющих эффективно применять преобразования к доказательству теорем и решению задач.

С групповой точки зрения, геометрия – это наука об инвариантах групп геометрических преобразований. Подчеркнем, что в силу подчиненного характера материала о геометрических преобразованиях в учебнике оставлены в стороне такие понятия, как «отображения и их виды», «обратимость отображений», хотя в книге или методических пособиях для учителей такие вопросы, естественно, рассматриваются [2].

В заключении отметим, что геометрические преобразования вводятся в качестве эффективного метода доказательства теорем и решения задач.

Список литературы.

1. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение, 1995. – 240 с.

2. Глейзер Г. Д. О новом учебно – методическом комплекте по геометрии для средней школы/ Журнал «Математика в школе» №8. – 2012.– 80 с.

3. Епишева О. Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе: Курс лекций: Учебное пособие для студентов физико-математической специальности педагогических вузов / О.Б. Епишева. -Тобольск: ТГПИ им Д. И. Менделеева, 2002.-138с.

4. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1991. – 270 с.

Код для цитирования: Скопировать