Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение. При решении используются следующие утверждения:
10 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Является медианой и биссектрисой.
20 Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании.
30 Биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам.
Пример 1. Найти sin 18°
Это можно решить следующим образом.
sin 36°= cos 54°= cos (18° + 36°)
2 sin18° cos18° = cos18° cos36° – sin18° sin36°;
2 sin18° cos18°= cos18°(1 – 2sin218°) – 2sin218°cos18°
2 sin18° = 1 – 4sin218°, решаем квадратное уравнение и учтем, что sin18° > 0, получим
sin18° = .
Эту задачу можно решить геометрически:
Строим равнобедренный треугольник АВС с АВ=ВС и АВС=36°, тогда ВАС - ВСА = 72°
Проведем AD биссектрису ВАС. Получим равнобедренные AВD и AСD. Обозначим AD=ВD=АС= а и АВ=b, тогда СD= а– b. Далее используем подобие треугольников или свойство биссектрисы угла и решим квадратное уравнение получим
Так как sin18° = cos72°. Рассмотрим AСD СD = 2АС·cos72° (свойство20) cos= =
sin18° = cos
При решении многих тригонометрических задач удобно применять прямоугольный треугольник. Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, решаются геометрически быстрее и проще.
Пример 2 . Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = .
Пусть arcsin x = , arcsin 2x = , тогда + = .
x = sin, 2x = sin. Заметим, что x > 0.
Построим АОМ = , АОВ = , МОВ = + = . АМОМ.
Пусть ОА = 1, тогда, из треугольника АОМ, АМ = 1 · sin= sin= 2x.
Проведём АКОВ. Из треугольника АОК АК = 1 · sin= sin= x.
Проведём КС ОМ. СКА = КОМ = – как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Проведём АD КС. Из АDК KD = AK · cos 60° = x · = .
DC = AM = 2x. Значит, КС = KD + DC = + 2x = .
Из АОК по теореме Пифагора:
ОК = = .
Из ОКС: ОК · sin 60° = KC
Ответ: .
Примеры решения тригонометрических уравнений.
Литература
А Г Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 класса. Москва, “Мнемозина”, 2010.
А.Ф. Бермант, Л.А. Люстерник. Тригонометрия. Москва, 1957.
Савин А. Тригонометрия. Квант, №4, 1996.