VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Облигация – обязательство, финансовый инструмент, по которому заемщик (фирма или правительство) обязан выплатить основную сумму долга и проценты по кредиту к определенной дате в будущем. Также облигация может предусматривать право владельца (держателя) на получение процента (купона) от её номинальной стоимости либо иные имущественные права.

Экономическая суть облигаций очень похожа на кредитование. Облигации позволяют планировать как уровень затрат для эмитента, так и уровень доходов для покупателя, но не требуют оформления залога и упрощают процедуру перехода права требования к новому кредитору. Фактически на рынке облигаций осуществляются средне- и долгосрочные заимствования, обычно сроком от 1 года до 30 лет.

В качестве инвестиций облигации привлекательны фиксированным периодом обращения на рынке и фиксированным процентным доходом, что позволяет точно прогнозировать размер прибыли от таких инвестиций. Это существенно снижает риск инвестиций в облигации по сравнению с акциями, доход по которым зависит от большого количества факторов и плохо прогнозируется на длительный срок. Цена дисконтной облигации обычно меньше номинала и может превышать номинал лишь в случаях, когда погашение предполагается производить не деньгами, а неким активом, стоимость которого уже выше номинала облигации. Цена процентной облигации может быть как ниже, так и выше номинала.

Облигации можно классифицировать по любому их признаку: эмитенту, сроку обращения, типу дохода, конвертируемости, валюте, инвестиционной привлекательности и рейтингу.

Владельцам облигаций важно знать, как изменяется цена данной облигации. Именно, с помощью рядов Тейлора можно вычислить это изменение.

Разложение рядов Тейлора представляет нам методологию для аппроксимации. Например, рассмотрим цену двухгодичной облигации, по которой ежегодно производятся выплаты по купонам. Цена облигации P как функция от совокупной доходности (y) будет вычисляться по формуле:

P = f(y) = CF1(1+y) + CF2(1+y)2

Функция f(y) достаточно сложная и еще более усложняется по мере того, как увеличивается по облигации количество платежей к получению. Было бы значительно проще, если бы мы имели приближение к функции f(y). Аппроксимации рядов Тейлора являются многочленными выражениями (произведениями чисел и степеней y), которые делают возможным подобные приближения. Так, мы можем построить постоянные, линейные, квадратичные или кубические аппроксимации, а также четвертой степени, пятой и т.д.

Ниже приведен перечень аппроксимаций рядов Тейлора для f(y) в окрестностях точки у. Приближение к константе мы обозначили P0(у), линейное приближение - P1(y), квадратичное - P2(у) и тд.

P0(y+h)=f(y)

P1(y+h)= f(y) + f'(y) · h

P2(y+h)=f(y)+f'(y)·h + f''y2·h2

P3(y+h)= f(y)+f'(y) · h + f''y2 ∙h2 + f'''y6 · h3

P4(y+h)= f(y)+f'(y) · h + f''y2 ∙h2 + f'''y6 · h3 + fivy24 · h4

Аппроксимации построены таким образом, что P0 имеет то же самое значение в точке у, что и P1, и такое же значение производной, P2 имеет то же самое значение и такую же первую и вторую производные, и т.д.

Для иллюстрации применения линейных и квадратичных приближений мы применим эти принципы для нахождения изменения цены облигации.

Рассмотрим соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы можем оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности путем разложения в ряд Тейлора.

Чтобы показать, как применять ряды Тейлора для нахождения изменений цен облигаций, рассмотрим простой пример однолетней облигации с нулевым купоном, 100% которой соответственно выплачиваются спустя один год. Если доходность на момент погашения составляет 5%, то текущая цена составит 95,24. Таким образом, Р = f(0,05) = 95,24. Какова будет цена при изменении доходности с 0,05 до 0,06? Мы можем сделать линейную аппроксимацию к изменению, прибавляя первую производную, умноженную на изменение доходности, к постоянной и получим:

95,24 + h(dP/dy),

учитывая, что Р = f(y) = Р = 100/(1 + у). Получаем:

dP dy= -100(1+y)2

Таким образом, при у = 0,05

dPdy = -1001,052 = 90,703

Линейная аппроксимация к Р при у = 0,06, т.е. Р = f (0,06) будет 95,24-(0,01· 90,703) = 94,33.

Если доходность мгновенно поднимется до 0,06, цена облигации упадет только до 94,33. Следовательно, линейная аппроксимация недостаточно точна. Мы можем улучшить приближение, применяя квадратическую аппроксимацию:

P(y+h)=f(y)+ dPdy · h + 12 d2Pdy · h2

При Y= 0,05 соответственно будем иметь:

d2Pdy2 = 200(1.05)3 = 172,768

Квадратичное приближение будет равно:

94,33 + 1/2 (172,768 · 0.012) = 90,0826 + (0,5 · 0,0173) = 90,09125.

Это равно действительному значению с точностью до пяти знаков после запятой.

Сопоставление текущей доходности облигаций и банковского процента на равноценные депозиты служит основой для формирования цен облигаций на вторичном рынке ценных бумаг. Применение метода разложения в ряд Тейлора позволяет оценить изменение цены облигации и принять верное финансовое решение.

Список используемой литературы

1. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999 г.

2. Макаров С.И. Математика для экономистов – М.: КНОРУС, 2007 г.

3. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. 2-ое изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2000 г.

4. Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика: Пер. с 14-го англ. изд. – М.: ИНФРА-М, 2002 г.

Код для цитирования: Скопировать