Рассмотрим модель межотраслевого баланса, в которой учтены требования экологии
(1)
представляющей из себя систему линейных неравенств.
Рассмотрим случай, когда . В этом случае модель Леонтьева – Форда имеет вид: (2)
и предусматривает утилизацию вредных отходов. Решение этой системы обозначим через , (если это решение существует).
Для нахождения решения данной системы используется теорема:
Теорема 1.Пусть - решение системы (2) – с утилизацией вредных отходов, - решение системы
(3)
без утилизации вредных отходов. Тогда справедливо неравенство
.
Приближенное решение модели Л-Ф.
Рассмотрим алгоритм приближенного решения уравнений вида
(4)
где - монотонно возрастающий оператор, - монотонно убывающий оператор, ибо модель (2) является моделью именно такого вида, т.е. , . Можно доказать утверждение:
Теорема 2.Пусть , - монотонные относительно конуса операторы, причем , и существуют такие два элемента , (), для которых выполняется условие
(5)
(6)
относительно конуса. Тогда для , , определенных формулами
(7)
(8)
где (), справедливы неравенства
; (9).
Тогда вектор является решением уравнения (4).
Границы , решения можно заметно сблизить, если воспользоваться следующим результатом Стеценко В.Я., приведенного в [4].
Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 число таково, что ; .
Тогда для решения справедливо неравенство
(10)
При этом .
Формулу (10) можно рассматривать как рекуррентный процесс построения последовательностей , . Последовательности , монотонно по недостатку и по избытку (соответственно) сходятся к , и, как правило, существенно быстрее, чем , .
Приведем еще пример построения монотонных приближений к решению на этот раз для случая задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения
(11).
Перейдем от этой задачи Коши к следующему эквивалентному интегральному уравнению
(12).
Эквивалентность понимается здесь в том смысле, что каждое непрерывное решение уравнения (12) является решением задачи (11). Заметим, что в промежутке подынтегральная функция в правой части (12) положительная, а на - отрицательная. Поэтому оператор
(13)
возрастающий, а оператор
(14)
убывающий. При этом задача (11) принимает вид
(15)
где , причем , а . Для приближенного решения уравнения (11) можно воспользоваться методом
где и таковы, что
.
Обозначим через такую постоянную, для которой
, (16)
и положим
, (17)
Тогда .
Т.е. и располагаются к решению уравнения , вообще говоря, намного ближе, чем и . Переход от , к , согласно формулам (16), (17) представляет способ ускорения сходимости приближений к решению .
Литература.
Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. - 1972. - №3.
Стеценко В.Я. Модель Леонтьева – Форда межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор. // Тамбов, XV Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях»,2002,Т 5.- С. 154-157.
Стеценко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов. – Ставрополь: СтГТУ, 1993. – 26 с. – Деп. в ВИНИТИ, 1069-В-93.
Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 455 с.
Колодяжная Т.А., Гробова Т.А. Применение теоремы о средних величинах при доказательстве неравенств. – Ставрополь, Научно-инновационные достижения СМС в области физико-математических наук и технических дисциплин.- 52 научно-методическая конференция.- 2007- с. 128-131