V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Корреляционный и регрессионный анализ – это методы математической статистики, позволяющие выявлять связь между двумя величинами, значения которых получают в результате статистических наблюдений. Основная задача корреляционного анализа – оценивание тесноты связи между величинами, а регрессионного – установление ее вида [1]. Применение корреляционного и регрессионного анализа для исследования взаимосвязи количественных показателей, характеризующих результаты обучения, становится возможным, если при оценке выполнения учебных заданий используется измерительная шкала с большим размахом и в аттестации участвует большое количество обучаемых. Получающее широкое распространение в настоящее время в средней и в высшей школе компьютерное тестирование предоставляет условия по формированию таких статистических данных.

Обучение в школе завершается прохождением единого государственного экзамена (ЕГЭ), а обучение в вузе начинается с диагностического тестирования (ДТ) по школьным предметам. Системы заданий, которые входят в предметную работу ЕГЭ [2] и ДТ [3] аналогичны и одинаково оцениваются по 100-балльной шкале, следовательно, можно сравнивать результаты их решения. Отмеченные особенности позволяют предположить, что между показателями выполнения учебных заданий ЕГЭ и ДТ существует прямо пропорциональная взаимосвязь.

Экспериментальная проверка выдвинутого предположения в нашем исследовании осуществляется на основе выборочной совокупности, в которую вошли результаты студентов первого курса, обучающихся в Уральском государственном университете путей сообщения на одной из технических специальностей. Сравнивается сумма баллов, набранная абитуриентами при сдаче ЕГЭ по математике, физике и русскому языку в июне 2012 г., с суммой процентов по этим же предметам, полученной на ДТ в сентябре 2012 г. Объем выборки составляет 37 пар значений случайных величин, характеризующих выполнение обучающимися учебных заданий по трем предметам.

Оценка степени линейной взаимосвязи результатов ЕГЭ и ДТ определяется с помощью коэффициента корреляции r[1], который вычисляется по формуле

r=ni=1nxi yi-i=1nxii=1nyi/ni=1nxi2 –i=1nxi2ni=1nyi2 –i=1nyi2,

(1)

где x_i – количество баллов i-го студента первого курса, полученное по ЕГЭ; y_i – количество баллов i-го студента первого курса, полученное по ДТ; n – количество сравниваемых пар значений (x_i; y_i).

Значимость r проверяется с помощью t-распределения Стьюдента и признается существенной при выполнении неравенства

| t_набл(r)| > t_кр(α; k), (2)

где tнаблr=rn-2/1-r2 – наблюдаемое значение критерия Стьюдента; t_кр(α; k) – критическое значение критерия Стьюдента на уровне значимости α при числе степеней свободы k(k = n– 2) [1].

Значение коэффициента корреляции r в нашем исследовании равно 0,85, а наблюдаемое значение критерия Стьюдента составляет 9,5. Критическое значение критерия Стьюдента на уровне значимости α = 0,05 при числе степеней свободы 35 определяется по таблице критических точек t-распределения [1] и принимает значение, равное 2,03. Неравенство (2) выполняется, следовательно, имеет место сильная линейная взаимосвязь результатов ЕГЭ и ДТ.

Оценки параметров а₀ и а₁ уравнения линейной регрессии y = а₀ + а₁х находятся методом наименьших квадратов (МНК) путем минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от теоретических, расположенных на прямой (рис. 1).

Рис. 1. Линейная регрессия результатов ЕГЭ и ДТ

Параметры а₀ и а₁ [1] из уравнения y = а₀ + а₁х вычисляются по формулам

a0=y-a1x, x=1n i=1nxi, y=1n i=1nyi,

a1=i=1nxi-xyi-y/i=1nxi-x2.

В нашем исследовании параметры а₀ и а₁ принимают соответственно значения –52 и 1,2. Мерой адекватности уравнения y = –52 +1,2х выборочным данным (x_i; y_i) служит такая величина как коэффициент детерминации R² [1], которая находится по формуле

R2=i=1nyi-y2/i=1nyi-y2, yi=a0+a1xi.

(3)

Значимость R² проверяется с помощью F-распределения Фишера–Снедокора и признается существенной при выполнении неравенства

F_набл(R²) > F_кр(α; k₁; k₂), (4)

где FнаблR2=R2n-2/1-R2 – наблюдаемое значение критерия Фишера–Снедокора; F_кр(α; k₁; k₂) – критическое значение критерия Фишера–Снедокора на уровне значимости α при числе степеней свободы k₁ = 1 иk₂ = n– 2 [1].

Значение коэффициента детерминации R² в нашем исследовании равно 0,73, а наблюдаемое значение критерия Фишера–Снедокора составляет 94,6. Критическое значение критерия Фишера–Снедокора на уровне значимости α = 0,05 при числе степеней свободы k₁ = 1 иk₂ = 35 определяется по таблице критических точек F-распределения [1] и принимает значение, равное 4,12. Неравенство (4) выполняется, следовательно, уравнение y = –52 +1,2х адекватно отображает линейную взаимосвязь исследуемых выборочных данных (x_i; y_i). Проверяемое нами предположение о прямо пропорциональной взаимосвязи между показателями выполнения учебных заданий ЕГЭ и ДТ не противоречит результатам педагогических измерений.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов – 9-е изд., стер. /В.Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с. ISBN 5-06-004211-6.

2. Контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена 2012 г. (математика, физика, русский язык). URL : http://www.fipi.ru (дата обращения: 14.01.2013).

3. Материалы диагностического тестирования (математика, физика, русский язык). URL : http://www.i-exam. ru (дата обращения: 20.01.2013).

3

Код для цитирования: Скопировать