V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

При расчете напряженно-деформированного состояния обычных упругих материалов используется обобщенный закон Гука, который в тензорной форме имеет следующий вид:

(1)

где Е – модуль упругости, – коэффициент Пуассона, – компоненты тензора деформаций, – компоненты тензора напряжений, – первый инвариант тензора напряжений, – символ Кронекера.

Соотношение (1) требует использования лишь двух упругих характеристик: модуля упругости и коэффициента Пуассона, которые при растяжении и сжатии предполагаются одинаковыми. Однако в большинстве своем материалы, применяемые на производстве, обладают свойством бимодульности, т.е. по-разному сопротивляются нагрузке в зависимости от знаков главных напряжений, такие материалы называются гетерогенно-сопротивляющимися [3,c.183].

Рисунок 1 – Диаграмма деформирования гетерогенно-упругого материала

Исследования упругих свойств многих материалов указывают на отличие в их поведении от линейного закона Гука при малых деформациях. Свойство бимодульности характеризуется существенным расхождением значений модуля упругости и коэффициента Пуассона при растяжении и при сжатии .

На диаграмме (рис.1) показано деформирование гетерогенно-упругого материала, который лучше сопротивляется растяжению, чем сжатию. Отсюда видно, что при деформировании диаграмма ломается в точке О, поскольку модуль упругости при растяжении превышает модуль упругости при сжатии в виду разности углов. Соответственно, расхождение модулей упругости и как следствие коэффициентов Пуассона, не позволяет использовать соотношение (1), поэтому этим расхождением часто пренебрегают и рассматривают процесс деформирования при одинаковых модулях упругости, полагая , в этом случае деформирование предполагается по пунктирной линии.

Данная аппроксимация в большинстве случаев ведет к существенной погрешности, поскольку громадное количество материалов являются бимодульными. Так, например, бимодульность установлена для многочисленных сплавов: чугуна, бронзы и стали. У стали бимодульность проявляется незначительно, различие в значениях модуля Юнга при растяжении и сжатии не более 3-5%, у чугуна может достигать 30% и более [1,c.72]. Свойством бимодульности обладают некоторые конструкционные материалы, в частности, армированные и неармированные полимеры. Сильно выраженным свойством бимодульности обладает такой распространенный строительный материал, как бетон. Для некоторых видов мелкозернистого бетона модуль упругости при растяжении в два-три раза меньше, чем при сжатии, например, бетон АФБ-1: [2, c.14].

Столь существенные различия в значениях упругих параметров, безусловно, приводят к значительным расхождениям в результатах расчетов деформаций без учета свойства бимодульности. Таким образом, получение точной картины напряженно-деформированного состояния чрезвычайно важно и актуально при расчетах многих конструкций, строительных сооружений. Однако отсутствие необходимого соотношения связи деформаций и напряжений, аналогичного соотношению (1), поставило важный вопрос о получении такого выражения, которое могло бы учитывать бимодульность материала, требуя при расчете четыре упругих характеристики: и .

Положим, что в процессе деформаций кинетическая энергия настолько мала, что ею можно пренебречь, а работа внутренних сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации и наоборот. Представим потенциальную энергию деформации для бимодульной среды в следующем виде:

(2)

где параметр - параметр, являющийся функцией инвариант тензора напряжений и определяющий характер напряженного состояния. Если же материал предполагается одномодульным, то из соотношения (2) получаем классический случай, когда .

Энергия деформаций для случая растяжения и сжатия будет:

,

где – среднее напряжение, – второй инвариант девиатора тензора напряжений, – девиатор тензора напряжений, – коэффициент объемного сжатия при растяжении и сжатии, – модуль сдвига при растяжении и сжатии, – 2-й инвариант тензора напряжений.

Используя закон потенциальности , компоненты деформаций можем записать в следующем виде:

(3)

Проводя тензорное дифференцирование по компонентам напряжений, определим все необходимые производные:

Подставим все производные в выражение (3) и получим соотношение для деформаций, выраженное через компоненты напряжений:

Упрощая полученное соотношение, приведем его к виду выражения (1):

(4)

Таким образом, соотношение связи деформаций и напряжений (4) представляет собой модель гетерогенной упругости, которая позволяет при расчете напряженно-деформированного состояния учесть свойство бимодульности материала посредством упругих характеристик , зависящих от модуля упругости и коэффициента Пуассона при растяжении и сжатии.

Применим данную модель гетерогенной упругости для решения задачи закрепленного с двух сторон тяжелого стержня из бимодульного материала. Пусть вертикально расположенный стержень длиною l закреплен двумя концами х = 0, х = l и находится под действием лишь собственного веса.

Напряженное состояние для тяжелого стержня, закрепленного с двух сторон, описывается тензором напряжений, где только компонента отлична от нуля. Для определения постоянной воспользуемся граничными условиями:

где с – нейтральная линия, для которой напряжения обращаются в ноль

Тогда соотношение для нормального напряжения будет записываться в следующем виде: . Определим инварианты тензора напряжений и параметр напряженного состояния:

_{Вычисляем деформации, используя модель гетерогенно-сопротивляющейся среды (3):}

_{Изменение формы для данного напряженно-деформированного состояния не происходит, линейные деформации определяются как:}

В теле возникают только линейные деформации, сдвиговые отсутствуют. Учитывая, что компоненты деформаций при растяжении-сжатии стержня будут:

_{Определим перемещения в направлении оси х. Обобщенный закон упругости примет следующий вид:}

Найдем соотношения для перемещений, используя соотношения Коши:

Для определения констант воспользуемся граничными условиями:

_{Тогда найдем необходимые постоянные и подставим их в перемещения:}

_{Для определения константы с воспользуемся условием непрерывности на плоскости контакта двух участков стержня:}

при х = с,

Таким образом, деформированное состояние будет определяться следующими компонентами линейных деформаций:

Рассмотрим предельные случаи гетерогенной упругости жестко-защемленного с двух сторон тяжелого стержня. Построим эпюры распределения напряжений σ₁₁ по длине стержня с учетом свойства бимодульности материала:

Построим эпюры распределение перемещений u по длине стержня с учетом свойства бимодульности материала:

Таким образом, из построенных эпюр видно, что для случая , когда материал не сопротивляется растяжению (сыпучие материалы: гравий, песок), нейтральная линия будет совпадать с верхней заделкой, т.е. с = l. Напряжения изменяются по линейному закону: , . Из этого следует, что стержень опирается на нижнюю опору (х = 0) и полностью сжат под действием собственного веса. Перемещения изменяются по параболическому закону, и для данного случая имеем: , .

Для случая , когда материал не сопротивляется сжатию (волокнистые, нитевидные материалы) видно, что с = 0. Напряжения изменяются по линейному закону: , . Из этого следует, что стержень закреплен сверху (х = 0) как будто висит и полностью растянут под действием собственного веса. Перемещения изменяются по параболическому закону, и для данного случая имеем: , .

Для классического случая, когда материал является одномодульным , т.е. свойства материала при растяжении и сжатии одинаковы, имеем . Напряжения и деформации изменяются по линейному закону, на границах: , . Перемещения изменяются по параболическому закону, максимум достигается в точке .

Для материалов, которые лучше сопротивляются сжатию, нежели растяжению (сталь, чугун, бронза), максимальные перемещения достигаются в зоне растяжения. В случае материалов, предел упругости которых на растяжение больше, чем на сжатие (углепластики, композиты), максимальные перемещения достигаются в зоне сжатия, поскольку материала обладает слабыми свойствами в отношении сжимающих напряжений.

Таким образом, для пяти различных случаев в зависимости от свойств гетерогенной упругости видны отличия в поведении материала, в том, как он сопротивляется действующей нагрузки по всей длине стержня. В результате, полученная модель гетерогенной упругости позволяет учесть вариативность упругих свойств материала в зависимости от знака главного напряжения и дать объективную картину напряженно-деформированного состояния.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

2. Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. Владивосток: Дальнаука, 2007. – 171 с.

3. Rigbi Z. Some thoughts concerning the existence or otherwise of an isotropic bimodulus material // ASME Journal of engineering materials and technology – October 1980, № 102, 183 – 384 р.

Код для цитирования: Скопировать