V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Цель исследования: ознакомление со способами решения задач начертательной геометрии, отличных от традиционных методов.

Задача исследования: дать наглядное представление последовательности графического решения задач средствами мультимедийных технологий.

Объектом исследования являются пять задач, предложенных уже с готовыми решениями, условие и чертежи которых представлены на рис. 2, 3, 4.

Прежде чем представить динамику построений проанализируем этапы решения этих задач и составим последовательность их выполнения.

Проведём анализ предложенных задач.

Первые две из них являются позиционными, а последние три относятся к разделу «Тени в ортогональных проекциях». Но, как известно, построение теней является практическим приложением позиционных задач. Так, построить контур собственной тени сферы это значит построить линию касания светового цилиндра со сферой. А общим методом построения падающих теней является метод лучевых сечений, и сводится он к построению пересечения светового луча или лучевой плоскости с той плоскостью или поверхностью, на которую падает тень. Таким образом, все пять задач по своей геометрической сути являются позиционными. Предложенные решения не похожи на изученные ранее методы. Изучая начертательную геометрию, такие задачи решали при наличии двух проекций. В предложенном варианте построения выполнены по одной проекции.

В каждой из этих задач имеются две плоскости и не принадлежащая им точка. В одних случаях она является вершиной поверхности, в других – источником освещения. Если абстрагироваться от сути задачи, то видим, что из этих точек, как из центра, происходит проецирование точек одной плоскости на другую.

Изучение дополнительной литературы [1, 2, 3] позволило установить, что в геометрии существует такое понятие, как коллинеация. Устанавливается она между двумя плоскими полями путём операции проецирования.

Если через S и произвольную точку А поля  (рис. 1, а) провести проецирующий луч SА), он пересечёт  в точке А^. В результате такой операции точке А плоского поля  будет поставлена в соответствие точка А^ поля . И наоборот, точке А^ соответствует точка А. Такое соответствие называется взаимно – однозначным. Точки А и А^ называются соответственными. При таком проецировании прямой линии m →m^, а m^ →m. Точкам B, C, D m →B^, C^, D^  m^. Точки, лежащие на одной прямой, называются коллинеарными, а соответствие, при котором сохраняется коллинеарность точек, называется коллинеарным соответствием или коллинеацией.

При определённых условиях возникает частный вид коллинеации, когда точки пересечения соответственных прямых лежат на одной прямой, а соответственные точки находятся на лучах, проходящих через одну общую точку. Такое соответствие называется гомологией. Упомянутая выше прямая называется осью гомологии, а общая точка лучей – центром гомологии.

Гомология может быть задана разными способами:

− осью, центром, парой соответственных точек;

− осью, центром, парой соответственных прямых;

− центром, тремя парами соответственных точек;

− центром, парой соответственных точек, парой соответственных прямых.

Имея любой из перечисленных выше набор элементов, можно построить сколько угодно гомологичных пар точек. Так на рис. 1, б даны ось s, центр S, пара соответственных точек А₁ → А₂ и точка М₁. Требуется построить М₂ → М₁.

а	б

Рис. 1, а) операция, устанавливающая коллинеарное соответствие между плоскими полями; б) построение гомологичных точек

Построение. Проводим прямую А₁М₁ до пересечения её с осью s в двойной точке 1₁ ≡ 1₂. Через двойную точку и А₂ проводим прямую, соответственную А₁М₁. Проводим луч SМ₁). Искомая точка М₂ получится на пересечении построенной прямой с проведённым лучом. Все указанные способы задания гомологии взаимозаменяемы, и от каждого из них можно перейти к любому другому способу.

Итак, анализ показал, что решение предложенных задач выполнено путём построения гомологичных фигур.

Задача 1. Заданы три точки А^, В^, С^, в которых плоскость общего положения пересекает рёбра АS, ВS и СS пирамиды SABCDE. Достроить сечение (рис.2, а).

Пары точек А, А^, В, В^ и С, С^ устанавливают гомологичное соответствие двух плоских полей: плоскости основания и секущей плоскости. Центром гомологии является вершина S пирамиды. Продлив стороны АВ и А^В^, ВС и В^С^ до взаимного пересечения, получим две двойные точки K≡K^ и M≡М^, через которые пройдёт линия пересечения плоскостей. Она является осью гомологии. Приёмом, показанным на рис. 1, б, находим D^→D и Е^→Е. Получаем сечение А^В^С^D^Е^→ABCDE.

Задача 2. Достроить фронтальную проекцию сечения наклонного цилиндра плоскостью общего положения, если задана линия m пересечения секущей плоскости с плоскостью основания цилиндра и точка А₁^ пересечения образующей l₁ цилиндра с секущей плоскостью (рис. 2, б).

Гомологичными будут фигура сечения и фигура того основания цилиндра, с плоскостью которого построена линия пересечения секущей плоскостью. Ось гомологии s≡m, центр S бесконечно удалён в направлении, параллельном образующим цилиндра. Парой соответственных точек является А₁^ и точка А₁ основания, через которую проходит образующая l₁ цилиндра. Для построения сечения выбираем на основании любую точку, например В₁. Проводим А₁В₁ до пересечения с осью: А₁В₁∩ s  1. Соответственная прямая пройдёт через точки А₁^ и 1. На пересечении этой прямой с образующей, проходящей через В₁, получаем В₁^→В₁. Аналогичным образом строятся остальные точки.

Гомологичными будут фигура сечения и фигура того основания цилиндра, с плоскостью которого построена линия пересечения секущей плоскостью. Ось гомологии s≡m, центр S бесконечно удалён в направлении, параллельном образующим цилиндра. Парой соответственных точек является А₁^ и точка А₁ основания, через которую проходит образующая l₁ цилиндра. Для построения сечения выбираем на основании любую точку, например В₁. Проводим А₁В₁ до пересечения с осью: А₁В₁∩ s  1. Соответственная прямая пройдёт через точки А₁^ и 1. На пересечении этой прямой с образующей, проходящей через В₁, получаем В₁^→В₁. Аналогичным образом строятся остальные точки.

а	б

Рис. 2: а) сечение пирамиды плоскостью общего положения; б) фронтальная проекция сечения цилиндра плоскостью общего положения.

Причём для этой цели можно использовать любую уже построенную пару точек. Построенные точки последовательно соединяем с учётом их видимости.

Задача 3. Построить контур собственной тени сферы при стандартном освещении (рис.3, а).

При стандартном освещении проекция светового луча направлена под углом 45^ к горизонтали. Контуром собственной тени сферы является эллипс, большая ось которого равна диаметру сферы и проходит через точки А и В касания световых лучей с её очерком. Эллипс и очерк сферы гомологичны. Осью гомологии является прямая линия, проходящая через А и В. Центр гомологии бесконечно удалён в направлении проекции источника освещения. Согласно закономерности контур собственной тени любой поверхности вращения на очерке и оси имеет точки одного уровня. Перенесём точку В по вертикали на горизонтальный диаметр. Получим точку С. Проведём через неё световой луч и отметим точку С^ пересечения луча с очерком сферы. Итак, гомология установлена осью s, центром S и парой соответственных точек С→С^. Берём любые точки очерка и строим им соответственные так, как показано на рис. 1, б.

Задача 4. Построить тени пересекающихся пластин АВС и DEF при факельном освещении, если задан источник освещения S и тень А^ от вершины А на пластину DEF (рис.3, б).

Известно, что если прямая пересекает плоскость, то тень от прямой линии на эту плоскость проходит через точку их пересечения. Поэтому тень от пластины АВС на плоскость DEF пойдёт из А в точки М и N. Для построения тени от пластины DEF на плоскость АВС используем гомологию, ось s которой совпадает с линией KM пересечения пластин, центр S совпадает с источником освещения, пара соответственных точек А→А. В плоскости АВС построим прямую линию, соответственную DF. Продолжим прямую АM до пересечения с DF в точке 1: АM ∩ DF1. Так как АM→АВ, то на пересечении луча S1) с АВ получаем 1^→1. Прямая линия DF∩s2≡2^. Прямая линия, соответственная DF, пройдёт через точки 2≡2^ и 1^. На пересечении луча SD) с построенной прямой линией получим D^→D. Часть прямой линии D^1, расположенная в пределах пластины АВС, представляет собой тень, падающую на неё от стороны DF. Соединив D^ с точкой K, получим тень на ту же пластину от стороны DЕ.

а		б

Рис. 3. Тени: а) контур собственной тени сферы; б) падающие тени двух пересекающихся пластин.

Задача 5. Построить тени пирамиды и пересекающей её пластины при заданном параллельном освещении и тени t_D от вершины пирамиды на плоскость её основания (рис. 4).

В плоскостях пластины и основания пирамиды устанавливаются две гомологии с общей осью и двумя разными центрами. Центром одной из них является вершина пирамиды, центром другой – источник освещения. В первой гомологии соответственными точками являются А→А^, В→В^, С→С^. Берём две пары соответственных прямых АВ→А^В,^ ВС→В^С^ и продолжаем их до взаимного пересечения в двойных точках: 1≡1^ и 2≡2^. Через двойные точки проводим ось гомологии s. Построим пару соответственных точек во второй гомологии. Для этого проводим луч SD). Он пересекает плоскость основания в заданной точке t_D. Проводим прямую t_DА до пересечения с s в точке 3≡3. Соответственная ей прямая пройдёт через 3≡3 и А^. Отмечаем пересечение этой прямой с лучом SD). Получаем t^_D→t_D. Тень от пирамиды на пластину пойдёт из точки t^_D в В^ и С^. Тенью от пластины ELK на плоскость основания пирамиды будет соответственная ей фигура в гомологии, определённой построенной выше осью s, центром S и парой соответственных точек t_D→t^_D. Строим t_Е →Е, t_L→L и t_K →K. Треугольник t_Еt_Lt_K – тень от пластины ELK на плоскость основания пирамиды DABC. В точках пересечения тени со стороной АВ основания пирамиды тень преломится на её грань DAB. Она пойдёт в точки пересечения прямой А^В^ со сторонами пластины. Грань DВС пирамиды находится в собственной тени.

Рис. 4. Тени пирамиды с пластиной

Из рассмотренных примеров видно, что гомологичное соответствие позволяет выполнить требуемые построения по одной проекции, что даёт преимущество этому способу перед традиционными приёмами.

Теперь средствами программы Microsoft PowerPoint анимируем процесс решения задач в представленной выше последовательности [ 4 ].

Полученную презентацию можно использовать в качестве иллюстративного материала на занятии. Возможно, настроить автоматический режим демонстрации презентации при размещении её в электронной базе библиотеки для самостоятельной работы студентов при изучении учебного материала дисциплины. Данная программа позволяет добавить речевое сопровождение, поясняющее решения.

Для просмотра демонстрации кликнуть 2 раза по изображению

Вывод.

«Реферативная работа обогащает знания студентов и способствует формированию у них таких научно-исследовательских компетенций, как

− умение проводить сбор и анализировать полученную информацию;

− умение оформлять полученные результаты в виде презентаций, статей и докладов на научно-технических конференциях» [ 5 ].

Список литературы.

1. Вольберг О. А. Лекции по начертательной геометрии. – Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР – Москва – 1947 – Ленинград. – 346 с.

2. Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия. − Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР – Москва – 1961 – 358 с.

3.. Вальков К. И. Лекции по основам геометрического моделирования. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1975. – 180 с.

4. Уваров В. М., Силакова Л. А., Красникова Н. Е. Практикум по основам информатики и вычислительной техники [Текст]: учеб. пособие. - 3-е изд., стереотип. - М.: Академия, 2007. - 238 с.: ил.

5. Супрун Л. И., Супрун Е. Г. Формирование научно-исследовательских компетенций при обучении начертательной геометрии бакалавров направления «Архитектура»//Современные проблемы науки и образования. – 2012. – №5; URL: http://www.science-education.ru/105-7033 (дата обращения: 20.09.2012)

Код для цитирования: Скопировать