V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Информационные технологии стремительно развиваются, захватывают все сферы жизни людей, в том числе и образование. В связи с активной информатизацией образовательного учреждения педагог должен не только обладать знаниями в области ИКТ, но и быть способным их применять в своей профессиональной деятельности. Компьютер позволяет учителю использовать готовые электронные программные продукты, такие как мультимедиа-учебники, энциклопедии и справочники, галереи, тестовые программы и тренажеры для подготовки к ЕГЭ, хранить большое количество информации, готовые разработки, дает возможность создавать и хранить раздаточный материал к каждому уроку и т.д. Существует значительное количество специализированных математических пакетов, таких как MatLab, Matcad, Math, Mathematika, Maple и др. Компьютер позволяет оптимизировать труд учителя, он стал незаменимым помощником для учителей, которые открыли для себя перспективы его использования. Рассмотрим возможности и преимущества использования информационных технологий при обучении школьников решению уравнений и неравенств.

Уравнения и неравенства являются основным содержанием курса математики средней школы. Школьники начинают знакомиться с неравенствами и уравнениями еще в начальной школе. Содержание тем «Уравнения» и «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах – 35%. Задача учителя − научить школьников эффективно решать как стандартные уравнения и неравенства, так и уравнения и неравенства, которые не являются стандартными, решаемыми по алгоритмам. Такие уравнения и неравенства требуют различных подходов к решению.

Уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению включаются в содержание ЕГЭ, олимпиад. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Одним из эффективных методов решения нестандартных уравнений и неравенств является графический метод. Однако внимания этому методу в практике обучения уделяется немного. Это связано с тем, что построение графиков функций − трудоемкий процесс, требующий много времени. В учебно-методических комплексах решение уравнений и неравенств с помощью графического представления функций практически не рассматривается, исключение составляют лишь учебно-методические комплексы А.Г.Мордковича.

Суть графического метода решения уравнений и неравенств в следующем: для решения уравнения строят график функции и находят абсциссы точек пересечения графика с осью . Эти абсциссы и являются корнями уравнения.

При графическом методе решения уравнения вида строят графики функций и . Затем находят точки пересечения этих графиков. Абсциссы таких точек являются корнями данного уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.

Для графического решения неравенства нужно построить графики функций и и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции расположен выше графика функции Аналогично для неравенств вида , , .

Графический метод является эффективным при решении нестандартных уравнений и неравенств, например, с параметром, решение которых аналитически приводит к громоздким и трудным вычислениям. Проиллюстрируем это.

Задача 1. Для каждого значения параметра определить число корней уравнения .

Уравнения вида , где – некоторое число, , — функция от переменной , решаются переходом к следующей совокупности условий:

.

Получим .

Дальнейшее решение полученной совокупности двух уравнений с параметром возможно, но громоздко.

Решить данное уравнение легче на основе построения моделей-графиков. Составляются следующие функции: и . В одной системе координат строятся графики этих функций и на основе выяснения их взаимного положения делается вывод о том, при каких значениях и в скольких точках пересекутся графики функций.

Построение графика функции начинается с построения параболы — модели-представления функции с вершиной в точке и точками пересечения с осью . Затем часть графика функции, расположенную в нижней полуплоскости, отображается симметрично относительно оси . Получается следующая графическая модель:

рис. 1

На основе построенной модели получаем следующие результаты: при решений нет; при два корня ; при четыре корня; при три корня; при два корня.

Для проверки гипотезы об эффективности графического метода решения уравнений и неравенств была проведена опытная работа в 11-х классах.

В одном классе в рамках дополнительных занятий проводилось целенаправленное обучение графическому методу решения уравнений и неравенств, в другом − обобщались, систематизировались и совершенствовались знания школьников аналитических методов решения уравнений и неравенств. После прохождения курса в каждом из классов была проведена проверочная работа. Всем учащимся было предложено решить по пять уравнений и неравенств, каждое из которых можно решить как аналитически, так и графически.

Результаты анализа результатов проверочной работы позволили сделать следующие выводы.

1. Графический метод позволил значительно сократить время, затраченное учащимися на выполнение задания. Вторая группа, решавшая задания аналитически, в ходе решения тратила гораздо больше времени на описание хода решения, рассмотрение различных случаев и пр.

2. Процент верно выполненных заданий в группе, применявшей графический метод решения, значительно выше (на 37 %). Причиной этого послужило то, что в ходе решения уравнения или неравенства аналитическим методом, возникает зачастую несколько случаев. Например, уравнение или неравенство распадается на систему или совокупность двух, а то и трех уравнений и (или) неравенств. От учащихся требовалось большая концентрация внимания. Многие «теряли» какие-либо случаи, допускали ошибки в обосновании логических следствий. Другой причиной ошибок являлось то, что уравнения или неравенства, полученные в ходе решения, были громоздки, сложны и учащиеся просто не смогли довести решение до конца.

Таким образом, опытное преподавание позволило сделать вывод, что, во-первых, необходимо научить детей решать уравнения и неравенства графическим методом, так как это позволит экономить время на выполнение заданий на уроках математики, ЕГЭ и олимпиадах. Во-вторых, графический метод является эффективным методом решения задач уравнений и неравенств повышенного уровня сложности, уравнений и неравенств с параметром, смешанных.

В качестве других преимуществ данного метода можно отметить, что графический метод решения уравнений и неравенств создает большие возможности для активизации учебной работы по наблюдению, сравнению, обобщению. Правильно построенные графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить. Вместе с тем, графическое решение уравнений и неравенств играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения, мышления, исследовательских способностей, находчивости и сообразительности.

Однако, времени на целенаправленное обучение школьников графическому методу решения уравнений и неравенств в процессе обучения математике не отводится. Рассмотрение этого метода возможно лишь в рамках изучения функций, их свойств и графиков или в рамках дополнительных, факультативных занятий. Естественным образом складывается ситуация нехватки времени на изучение графического метода решения уравнений и неравенств.

Таким образом, наблюдается противоречие между необходимостью обучения школьников графическому методу решения уравнений и неравенств и недостатком учебного времени для качественной организации этого процесса.

Это противоречие может быть снято с помощью применения информационных технологий.

Использование информационных технологий сокращает время при объяснении нового материала, что в свою очередь позволяет больше внимания уделить практической работе, так же их использование помогает вызвать интерес к предмету и сохранить внимание на протяжении всего урока.

Современные технически оснащенные кабинеты математики позволяют сделать урок интересным, за счет графического сопровождения материал представляется наглядно, что способствует более эффективному усвоению материала. Чаще всего средством представления материала является интерактивная доска.

Интерактивная доска есть практически во всех кабинетах математики, без них мы уже не представляем современный образовательный процесс. С её помощью мы можем представить классу различные виды информации. Мы можем работать с текстом, показать классу обучающее видео, наглядно представить таблицы, рисунки и графики. Доска является незаменимым помощником при обучении школьников графическому методу решения уравнений и неравенств. Одно из преимуществ такой доски в том, что её программное обеспечение содержит интерактивные инструменты для построения, использование которых значительно облегчает работу с графиками функций и, безусловно, работать с ними гораздо легче, чем с реальными чертежными инструментами.

Проиллюстрируем это на примерах.

Задача 2. При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

Решение данного уравнения графическим методом будет гораздо проще решения аналитическими методами. Результат построения графика с использованием программного обеспечения SMART Notebook:

рис. 2

График построен с использованием инструментов перо распознавания фигур и линии. При анализе решения уравнения и выборе ответа линию можно перемешать, что позволит наглядно рассмотреть все случае при изменении параметра а.

Задача 3. При каких значениях параметра уравнение имеет более двух корней?

Результат построения с использованием инструмента линии:

рис. 3

При построении графиков с помощью инструмента линии, происходит автоматическое выравнивание всех неровностей. Построение проводится от руки, без использования чертежных инструментов, что значительно проще, быстрее, чем при построении графиков на доске. Изменение цвета различных линий позволяет выделить все преобразования графика функции. Графики можно перемещать по координатной плоскости, поворачивать на угол до , что позволяет варьировать условие задачи, без лишних усилий и экономя время.

Наряду с интерактивной доской при изучении графического метода решения уравнений и неравенств с помощью компьютера можно использовать программы для построения графиков. Использовать их можно с разной целью, например, проверить правильность построенного прежде в тетради графика, что дает возможность проверить правильность ответа. Так же с целью экономии времени, строить графики с помощью программы и делать выводы о решении уравнения или неравенства, о количестве решений уравнений или неравенств

Задача 4. Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет ровно 3 различных корня.

Покажем процесс решения этого уравнения с использованием Advanced Grapher.

Сначала строится график функции для , а затем отражается относительно оси ординат.

рис. 4

Далее делается вывод, что семейство прямых , параллельных оси абсцисс, пересекает график ровно в трех точках при . Следовательно, уравнение имеет ровно три различных корня при .

Во всех приведенных примерах информационные технологии позволяют не просто вывести готовый график на экран, а производить последовательные изменения без использования клавиатуры. Учитель или ученик может выполнять преобразования графика, и класс может наблюдать за каждым его действием, отследить весь ход преобразований. В этом процессе эффективно реализуется общедидактический принцип наглядности, который является одним из ведущих факторов обучения и развития.

Таким образом, можно сделать вывод, что информационные технологии, дают возможность качественно и продуктивно изучить графический метод решения уравнений и неравенств. Конечно же, информационные технологии не решают всех проблем обучения. Лишь объединение информационных технологии с правильно подобранными методами обучения позволяют не просто “дать” каждому ученику некоторый запас знаний, но и создают условия для повышения познавательного интереса учащихся, тем самым улучшают уровень их образования и воспитания.

Список литературы

1. Горина, Л.А.Потенциал функционально-графической линии алгебры в школе. // Математика в школе, 2010.

2. Роберт, И. Современные информационные технологии в образовании // Москва ИИО РАО 2010.

3. Мордкович, А.Г., Семенов, П.В. Алгебра и начала анализа (профильный уровень) 10, 11 класс – М.: «Мнемозина», 2009.

4. Сборник задач по математике / Под редакцией М.И. Сканави. – М.: «Оникс 21 век», 2001.

5. Математика. Подготовка к ЕГЭ /Учебно-методический комплекс под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону, 2010.

Код для цитирования: Скопировать