X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Основной смысл использования метода, основанного на использовании таблицы преобразований Лапласа для расчета переходных процессов заключается в том, что некоторой вещественной переменной ставится в соответствие функция комплексной переменной. В итоге имеем, что производные и интегралы от вещественной функции заменяют математическими функциями. В ходе расчета данных уравнений мы находим изображения, а затем, путем обратного преобразования, – оригиналы. Главным этапом практического применения является необходимость определения только независимых начальных условий, что заметно упрощает расчет переходных процессов в электрических цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. [2,3]

В данной статье мы рассмотрим способ применения преобразований Лапласа для расчета переходных процессов в RC-цепочке.

Для расчетов используется схема (рисунок 1), имеющая источник ЭДС , ключ K, резистор R и последовательно включенный конденсатор C. В исходном состоянии цепь разомкнута, ток отсутствует. [4,6]

Рисунок 1 –RC-цепь для расчета переходных процессов

Рассмотрим переходный процесс, который возникает, когда ключ K замыкается.

Предположим, что . Появляется ток, конденсатор начинает заряжаться. В любой производный момент времени мы можем записать уравнение по правилу Кирхгофа. [5,6]

Получаем:

Для расчета воспользуемся таблицей преобразования Лапласа

Таблица 1 – Таблица преобразований Лапласа

№№			№№
1			11
2			12
3			13
4			14
5			15
6			16
7			17
8			18

Вспомним основное уравнение для конденсатора:

где емкость конденсатора,

заряд, который образуется в следствии протекания тока через конденсатор

После преобразования (таблица 1) уравнение можно записать в следующем виде:

Таким образом, мы приводим уравнение к дифференциальному виду. Окончательно получаем:

Данное уравнение необходимо решить. Для этого мы вновь воспользуемся таблицей преобразований (таблица 1) к обоим частям уравнения.

Таким образом, преобразование Лапласа позволяет нам исключить время и найти образ , после чего, используя таблицу, привести уравнение к явному виду. [1]

Упростим выражение, разделив обе части уравнения на общий знаменатель. Получим:

Отсюда находим образ тока:

где

Чтобы прийти к каноническому виду разделим и умножим знаменатель на Получим:

В итоге получаем:

Осталось найти напряжение на емкости, которое всегда равно:

или

Для решения данного уравнения мы не использовали ничего, кроме таблицы преобразований Лапласа.

Рассмотрим еще одну показательную задачу электротехники, решаемую с помощью операционного исчисления.

Найти закон изменения тока при включении постоянной э.д.с. в последовательный колебательный контур с параметрами R, Lи С при условии .

По закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем

где

После подстановки получим дифференциально-интегральное уравнение

Обозначим изображение функции-оригинала через , то есть .

Тогда по правилу дифференцирования оригинала и правилу нахождения изображения интеграла от данной функции-оригинала находим

и , а .

Подставив найденные изображения, получим операторное уравнение

Решая это алгебраическое уравнение относительно изображения , имеем

или .

Обозначим

Тогда, выделяя полный квадрат в знаменателе, получим

По таблице с учетом свойства линейности восстановим оригинал

.

Вывод. В реальном колебательном контуре существуют свободные колебания тока, которые носят затухающий характер ( - коэффициент затухания).

Список литературы:

Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 511-513.

Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 522-524.

Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., МАТЕМАТИКА // рабочая тетрадь / Ставрополь, 2015.

Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. 2011. № 12. С. 62-63.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. 2012. №2. С. 81-82.

Мелешко С.В., Зорина Е.Б., Попова С.В., Гулай Т.А., Самостоятельная работа как важнейшее средство повышения профессионально-познавательной и творческой активности будущих специалистов // Theoretical & Applied Science. 2016. № 11 (43). С. 135-138.

Код для цитирования: Скопировать