X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Диофантовы уравнения связаны с именем древнегреческого математика

Диофанта Александрийского. О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до нашей эры); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года нашей эры) — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в период II – III веков нашей эры. Индусские математики примерно с пятого века также рассматривали неопределенные уравнения первой степени. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.

Под диофантовым уравнением понимается уравнение решение которого, ищется в целых (иногда в натуральных) числах. Классическим диофантовым уравнением является уравнение Ферма:

.

Можно условно выделить следующие методы решения диофантовых

уравнений: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод разложения на множители; выражение одной переменной через другую и выделении целой части дроби; выделение полного квадрата; метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение; метод, основанный на алгоритме Евклида; метод, основанный на теории цепных дробей; метод, основанный на теории сравнений; метод бесконечного спуска и др.

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче –

нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару – меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий множитель. Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений.

Рассматрим линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x

и y — целые числа. Одно уравнение содержит две переменных. Но нам нужны только целые корни, что упрощает дело - пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Диофантовы уравнения не всегда имеют решения.

Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. В левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2.

Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда в качестве y можно взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, можно решить любое линейное диофантово уравнение.

Так как диофантовы уравнения являются одним из составляющих

компонентов элементарной математики, нетрудно догадаться, что данная тема затрагивается еще в школьном курсе математики. Так же уравнения данного вида встречаются в заданиях группы B и C в едином государственном экзамене (ЕГЭ). Уравнения в целых числах не обошли стороной и олимпиадные задачи. Таким образом, из всего вышесказанного можно сделать вывод, что, для успешной сдаче ЕГЭ и завоевания призовых мест на олимпиадах, ученику необходимо и нужно знать и теорию, и методику решения уравнений данного вида.

Список литературы.

Гринько Е. П., Головач А. Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам: учебно-методическое пособие Брест: Издательство «БрГУ имени А.С. Пушкина» 2013г.

Википедия. [Электронный ресурс]

Код для цитирования: Скопировать