X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Понятие функция является одним из фундаментальных в математике, а функциональная линия — одна из важнейших линий школьного курса математики (ШКМ).

Изучение функциональной линии в математике основной школы проходит в течение трех лет: 7, 8, 9 классы. За это время учащиеся знакомятся понятием зависимости, функциональной зависимости, видами функций, графиками и их свойствами. Тема «Функции» занимает большой объем в ШКМ, в учебных программах ВУЗов, так же много вопросов и задач по этой теме содержится и в государственных экзаменах (ОГЭ, ЕГЭ).

Математика всегда связана с вычислениями и формулами, с помощью которых записываются соотношения между различными переменными величинами (или просто переменными). Переменные, которые описывают какой либо процесс или явления, связаны между собой или зависят друг от друга.

Определение функции, которое дал русский математик Н.И.Лобачевский: переменную величину называют функцией другой переменной величины , если каждому значению величины (из некоторой области) поставлено в соответствие вполне определенное значение величины . Термин «функция» был введен Лейбницем. Такая запись впервые введена Л. Эйлером.

В учебнике Макарычева Ю.Н. «Алгебра. 7 класс: учебник для образовательных организаций» дано такое определение функции: зависимость одной переменной от другой, когда каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функциональной зависимостью или функцией. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Выделяют два подхода к введению определения понятия функции: генетический и логический.

Генетическая трактовка понятия функции основана на развитии и методологическом овладении основными особенностями, которые были включены в понятие функции до середины XIX века. Наиболее важными понятиями, которые в этой трактовке входят в систему функциональных представлений, являются переменная величина, функциональная зависимость переменных, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), правило, декартову систему координат.

В генетическом развертывании функции подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции по изучению явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с другим содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, которые используются в нем выражается аналитически или таблично.

Логическая интерпретация понятия функции исходит из того, что обучение функциональных представлений следует на основе методологического анализа понятия алгебраической системы. Функция с таким подходом проявляется как особый вид отношения между двумя наборами, который удовлетворяет функциональному условию. Начальным этапом в изучении понятия функции является вывод ее из понятия отношения. Подход основан на интерпретации понятия функции более позднего времени: второй половине XIX в. - XX в.

Логический подход охватывает множества разной природы. Такое определение просто по своей структуре, позволяет четко дать некоторые определения, относящиеся к функциональной линии, которые для генетического подхода нелегко сделать (обратная функция и т.д.).

Таким образом, если генетический подход недостаточен для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает некоторую избыточность. Различия в трактовке функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. При дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, потому что алгебраические понятия изучаются в курсах алгебры, а не в концепции самой функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их различные приложения в задачах.

При введении понятия «функция» следует обратить внимание на переход от одной формы задания функции к другой. Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой).

Понимание функции как математической модели реальных процессов определяет общий культурный аспект изучения математики. В связи с этим учащиеся должны уметь видеть функциональную зависимость не только в алгебраических формулах, но и в других школьных предметах и в жизни.

Формирование концепции функциональной зависимости у учащихся является важной задачей деятельности учителя. Она направлена на формирование математического мышления и развитие творческой активности учащихся. В результате изучения курса математики учащиеся должны понимать, что функции являются математической моделью, которая позволяет описывать и изучать различные отношения между реальными величинами.

Код для цитирования: Скопировать