X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Методы этой группы имеют достаточно много общего. Каждый изучается, как правило, при рассмотрении соответствующего преобразования, при этом решаемые задачи служат для закрепления и более глубокого усвоения изучаемого понятия. Для повышения эффективности обучения необходимо, чтобы, кроме первоначальных представлений о самом преобразовании, учащиеся умели выполнять построение образов фигур при этом преобразовании, так как использование образа искомой фигуры при построении есть основа каждого из этих методов, их основная идея и суть.

Если искомую фигуру сразу построить затруднительно, то ее преобразуют в какую-нибудь другую фигуру, построение которой можно сделать легче или непосредственно.

При изучении этих методов целесообразно выделить наиболее характерные признаки с тем, чтобы в будущем, анализируя задачу, ученик мог выбрать соответствующий метод.

По мнению Г.Х. Воистиновой [2, 3], действующая программа по геометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя использование геометрических преобразований при решении задач на построение имеет большое методическое значение.

Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) S_lназывается преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М₁, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ₁. Прямая lназывается осью симметрии.

Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. При решении задач данным методом ученикам полезно предложить, по мнению Г.Х. Воистиновой [2, с. 81], критерий применимости осевой симметрии.

Критерии применимости метода осевой симметрии

1. Только одним методом осевой симметрии можно образовать на чертеже-наброске «построимый» треугольник, если все данные по условию элементы заданы по величине, но некоторые из этих элементов – угловые – на чертеже-наброске явно не изображены.

2. С помощью одного только метода осевой симметрии можно образовать на чертеже-наброске «построимый» треугольник также и тогда, когда все данные условия изображены на чертеже-наброске явно, но не все они даны по величине, некоторые из них заданы своим положением относительно других элементов.

Под первый критерий подпадают все те задачи на построение многоугольников, в которых в числе данных условия имеются углы, равные сумме или разности каких-нибудь углов многоугольника, а также задачи, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные – по другую.

Рис. 1

Задача.Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых bи с[2].

Анализ. Пусть ABDC – искомый ромб, AD=r(рис. 1). Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b – в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.

Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общую для прямых с и b'; прямую ВС; точку ОВС а; точки А и D на прямой а, отстоящие от точки О на расстоянии ; ABCD – искомый ромб.

Доказательство ввиду его простоты опустим.

Исследование. Возможны следующие случаи: 1)с || b', решений нет; 2) с b', решений бесконечно много; 3)прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4)прямыес и b' пересекаются на прямой а, решений нет [1].

Литература:

Аргунов. Б. И. Элементарная геометрия: учеб. пособиедля пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М. Б. Балк. – М.: Просвещение, 1966. – 264 с.

Воистинова Г.Х. Обучение решению задач на построение: Учеб. пособие по курсу теории и методики обучения математике для студентов 4-5 курсов специальности «032100 – Математика с дополнительной специальностью» и «032200 – Физика с дополнительной специальностью». – Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2014. – 108 с.

Воистинова Г.Х., Солощенко М.Ю. Обучение решению задач на построение с практическим содержанием // Фундаментальные исследования.– 2014. – № 3 (часть 4). – С. 817-821.

Код для цитирования: Скопировать