X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

The above survey of some results concerns the weighted spaces in the complex plane.

Keywords: weighted spaces, the Cauchy kernel, space the Blaschke product.

Рассмотрим пространство целых функций , удовлетворяющих условию

где , а , т. е. функция строго убывает на всей полуоси и такова, что и

при

Через будем обозначать соответствующие лебеговы пространства.

Будем рассматривать пространство целых функций при .

Лемма 1.1. При любом сумма совпадает со множеством всех целых функций.

Заметим, что при вышеприведенных условиях при и любом , для начала приведём следующую теорему о представлениях.

Теорема 1.1. Пусть . Тогда в любой точке

где — ядро Коши из [2].

Замечание 1.1. При множество функций

является ортогональным базисом пространства .

Теорема 1.2. Если , то для ортогональной проекции наверна формула

Теорема 1.3. Пусть функция непрерывно дифференцируема в

и такова, что , производная и ограничена , а также

Тогда функция

принадлежит , и совпадает со множеством всех функций, представимых в виде

Для любого существует единственная функция такая, что (1.1) верно . Эта функция задаётся формулой

.

Кроме того, , и для любого , с которым верно (1.1). Оператор является изометрией , интеграл (1.1) задается на .

Замечание 1.2. Пространство , рассматриваемые в теореме 1.3, исчерпывают все целые функции.

Рассмотрим случай простых узлов интерполяции, т. е. будем полагать, что — последовательность попарно различных чисел в , подчинённая условием Бляшке

Далее будем полагать, что , если последовательность равномерно отделена, т. е.

.

Введем также произведение Бляшке с нуля в :

.

Предложение 1.1. Если , то для любого

,

где — постоянная.

Ниже приведён ряд предложений, в основном следуя порядку [1]. Обозначим

.

Далее, отметим следующие формулы для систем целых функций и :

и

где — коэффициенты разложения .

Предложение 1.2. Если последовательность не подчинена условию Бляшке, т. е. ряд (1.2) расходится, то обе системы (1.3) полны в .

Теперь через обозначим множество всех функций , для которых граничные значения почти всюду на совпадают с граничными значениям . В для некоторых .

Предложение 1.3.Функции систем (1.3) принадлежат , и системы (1.3) биортогональны , т. е.

Предложение 1.4. Пусть . Тогда в том и только том случае, когда

.

Предложение 1.5. Любая функция представима в виде

где и

.

Список литературы

АйрапетянГ. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1975. Т. 10. № 2. С. 133 - 152.

Джрбашян М. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1970. Т. 5. № 6. С. 453 - 485.

ДжрбашянА. М., АветисянК. Л.- ДНАН Армении. 2002. Т. 102. № 2. С. 105 - 112

ДжрбашянМ. М.- Сообщ. Ин-та матем. и мех. АН АрмССР. 1948. Т. 2. С. 3 - 40.

ЛеонтьевА. Ф. Обобщения рядов экспонент. М. Наука. 1981

Код для цитирования: Скопировать