X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В настоящее время квазикристаллы вызывают большой интерес ученых, благодаря своим необычным свойствам. Квазикристаллы нельзя отнести к аморфным веществам, так как они обладают дальным порядком в расположении атомов, но и к классическим кристаллам они тоже не относятся, потому что они не имеют трансляционной симметрии. Одной из особенностей квазикристаллов является наличие точечного дифракционного спектра, в котором дифракционные пики расположены с некристаллографической симметрией, то есть обладают осями симметрии пятого и выше шестого порядка.

Квазикристаллы были открыты Даниэлем Шехтманом. В 1984 году при электронографическом исследовании кристаллов сплава алюминия и марганца (А10.86Мn0.14) он получил дифракционную картину, которая содержала типичные для кристаллов резкие (Брэгговские) пики, но при этом обладала осью симметрии десятого порядка.

С открытием Шехтмана появился ряд задач, связанных с построением математических моделей квазикристаллов. Квазипериодические разбиения представляют собой модели квазикристаллов. В таком разбиении любой его фрагмент, заключенный в круге радиуса R повторяется на расстоянии не более CR от фрагмента (с константой C, не зависящей от R), несмотря на отсутствие глобальной периодичности разбиения. Самыми известными примерами одномерных и двумерных квазипериодических разбиенийявляются одномерный кристалл Фибоначчи и мозаика Пенроуза соответственно. Разбиения с порядком симметрии выше шестого называются циклотомическими.

Для построения вышеупомянутых разбиений удобнее всего использовать метод среза и проекции, основанный на теории модельных множеств. В простейшем случае, данный метод имеет следующий вид.

Возьмем пространство размерности . В нем рассмотрим решетку . Решетка представляет собой набор векторов и все их линейные комбинации. Рассмотрим две проекции и , такие что и . Пространство будем называть физическим, а – фазовым. Предположим, что проекции решетки всюду плотны в каждом из пространств. Рассмотрим в фазовом пространстве множество , которое будем называть окном. Тогда точечное множество

является квазипериодическим и обладает точечным дифракционным спектром.

Коротко данная конструкция представлена на следующей схеме.

Список использованных источников:

Шутов, А.В. Разбиение Пенроуза – модель квазикристаллов [Текст] / А.В. Шутов, А.В. Малеев // Труды XI Всероссийской научной школы. – 2014. – С. 152-161.

Малеев, А.В. Квазипериодические разбиения – математические модели квазикристаллов [Текст] / А.В. Малеев, А.В. Шутов // Третья школа молодых ученых по физике наноструктурированных и кристаллических материалов: конспекты лекций и тезисы докладов. – Нижний Новгород: ННГУ, 2014. – С. 50-56.

Шутов, А.В Модельные множества и модельные графы с некристаллографической симметрией [Текст] / А.В. Шутов, Т.В. Кузнецова, А.В. Малеев // Математические исследования в естественных науках. – 2015. – №12. – С. 132-141.

Код для цитирования: Скопировать