X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В настоящее время трудно переоценить значение инженерной практики в современном мире науки и техники. Инженеры пользуются огромными познаниями в математике, стимулируют научно-технический прогресс, результаты которого определяют поступательное развитие общества. Однако стоит отметить, что данное развитие имеет место, только при тесном взаимодействии математики и технической практики. Инженерное дело, как область интеллектуальной деятельности человека, не может быть реализовано без математического аппарата, на основе которого решаются основные научно-технические задачи. Соответственно и математика не имела бы возможности интенсивного развития, если бы не являлась основным инструментом в научно-технической деятельности. Это значит, что математика и инженерное дело взаимно дополняют друг друга. Таким образом, мы приходим к выводу, что современный инженер, воплощающий инновационные идеи, не может обойтись без уверенных знаний математики. [3,8]

Например, инженер-электротехник для решения основных задач в своей области, в частности расчет параметров электрических цепей, использует уравнения Кирхгофа в матричной форме. В данном случае мы наблюдаем, как благодаря линейной алгебре и ее методам, значительно упрощается процесс длительных расчетов, а значит, увеличивается эффективность инженерной деятельности.

Рассмотрим базовую теорию. Матрица — это прямоугольная таблица чисел, в которой содержатся m строк (или n столбцов) идентичной длины. [7]

сокращенно можно записать, где (то есть ) – номер строки, -номер столбца. [6]

Матрицу размером называют матрицу и обозначают . Элементами составляющие матрицу, называются числа . Элементы, стоящие на диагонали и идущие из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрица, имеющая одинаковое количество столбцов и строк, называется квадратной. [1,2]

Квадратной матрице n-го порядка можно сопоставить число (или , или ), называемое ее детерминантом, таким образом:

); .

; .

. ; =

.

Минором некоторого элемента детерминанта n-го порядка называется детерминант n-1-го порядка, получившийся из исходного с помощью вычеркивания столбца и строки, на пересечении которых находится выбранный элемент. [2]

Алгебраическим дополнением элемента , детерминанта называется минор, взятый со знаком «+», если сумма – четное число, и со знаком «-», если сумма нечетная. Обозначается как : .

Метод Крамера – это способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с нулевым главным детерминантом матрицы коэффициентов системы. [5]

, (Формула Крамера)

На примере продемонстрируем расчет электрической цепи с помощью данной теории.

Пример 1.

Дана электрическая цепь (рисунок 1). Надо определить токи в ветвях, с помощью законов Кирхгофа. Параметры элементов электрической цепи следующие:

Рисунок 1. Схема электрической цепи

Решение:

Необходимо выбрать положительные направления искомых токов ветвей и обозначить их на схеме.

Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа. В итоге можно получить систему из трех уравнений:

/

Решаем полученную систему по методу Крамера с помощью детерминантов:

Находим значения токов по формуле Крамера:

Пример 2.

Второй закон Кирхгофа используется для метода контурных токов. С помощью этого метода можно уменьшить число уравнений в системе на n-1. Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые конту­ры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной. В заданной системе рассмотрим три контура-ячейки и введем для них контурные токи I_k1, I_k2, I_k3. Смежными ветвями называются ветви, принадлежащие двум смежным контурам. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления. При составлении этих уравнений по второму закону Кирхгофа алгебраически суммируются ЭДС источников в левой части равенства, входящих в контур-ячейку. В правой части равенства алгебраически суммируются на­пряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывает­ся падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура. На основании ранее приведенного материала контурные токи рассчитываются следующим образом:

E₁=I_k1(r₀₁+R₁+R₃+R₄)+I_k2R₃-I_k3R₄

E₂=I_k1R₃+I_k2(r₀₂+R₂+R₃+R₅)+I_k3R₅

0=-I_k1R₄+I_k2R₅+I_k3(R₄+R₅+R₆)

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений:

40=102I_k1+24I_k2-41I_k3

20=24I_k1+93I_k2+16I_k3

0=-41I_k1+16I_k2+118I_k3

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆₁, ∆₂, ∆₃:

∆=

∆₁=

∆₂=

∆₃=

Вычисляем контурные токи:

Действительные токи ветвей:

I₁=I_k1=0,429А

I₆=I_k3=0,138А

I₁=I_k1=0,081А

I₃=I_k1+I_k2=0,429+0,081=0,510А

I₄=I_k1-I_k3=0,429-0,138=0,291А

I₅=I_k2+I_k3=0,081+0,138=0,219А

Список литературы:

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению / Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция. - 2011. - С. 124-127.

Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 511-513.

Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 522-524.

Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., МАТЕМАТИКА // рабочая тетрадь / Ставрополь, 2015.

Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Применение технических средств обучения в процессе математической подготовки студентов инженерных направлений // Вестник АПК Ставрополья. 2014. № 1 (13). С. 10-13.

Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. 2011. № 12. С. 62-63.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. 2012. №2. С. 81-82.

Мелешко С.В., Зорина Е.Б., Попова С.В., Гулай Т.А., Самостоятельная работа как важнейшее средство повышения профессионально-познавательной и творческой активности будущих специалистов // Theoretical & Applied Science. 2016. № 11 (43). С. 135-138.

Код для цитирования: Скопировать