X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

На втором курсе мы начнем изучать такую дисциплину, как электротехника, где задачи решаются не простыми математическими действиями, а сводятся к использованию матриц, дифференциалов, определенных и не определенных интегралов. Данная статья будет посвящена использованию интегралов при решении сложных задач.

Хорошим примером могут служить задачи, решаемые с помощью интеграла Дюамеля. Данный интеграл применяется для нахождения неизвестных при решении задач, в которых происходят переходные процессы в цепях. [3,5]

Задача №1

«На зажимах цепи действует одиночный импульс напряжения. Требуется с помощью интеграла Дюамеля определить переходный ток в одной из ветвей заданной цепи, возникающий при действии импульса напряжения и рассчитанного переходного тока».

Дано:

R=50 Ом.

L=100 мГн = 0,1 Гн.

Найти: -?

Решение

Для начала мы находим переходную функцию системы :

Теперь находим неизвестные, в данном случае ток с индуктивностью при включении источника напряжения:

Нам неизвестна константа . Согласно первому закону коммутации, ток через индуктивность скачком изменяться не может. А это значит, что до включения в цепь источника питания, ток в индуктивностиотсутствовал, то есть,его и не будет в начальный момент времени .

Из данной формулы получаем, что

Характеристическое сопротивление выражается формулой:

Теперь вернемся к начальному уравнению и подставим в него найденных величины:

Посчитав переходную функцию системы , перейдем к нахождению выходной функции напряжения, разбив данную формулу на два участка:

Найдём первую производную данных уравнений:

Для первого интервала времени ток в индуктивности будет равен:

Для второго интервала времени ток в индуктивности будет равен:

На данном примере мы раскрыли специфику решения задач по электротехнике, используя метод Дюамеля, основанный на принципе суперпозиции для линейных систем.

Теперь рассмотрим пример задачи, не связанной с электротехникой, при решении которой, применяется интегрирование. Возьмем теоретическую задачу нанахождение пройденного пути под действием аэродинамической силы. [2,6]

Решение:

При увеличении скорости в среде, на смену вязкому трению приходит сила сопротивления. Она же воздействует на самолет во время полета. Теперь уравнение движения имеет вид:

(1.1)

Где неизменяемый коэффициент β зависит от формы тела и свойств среды. Задача заключается в исследовании процессов торможения частиц при попадании в среду, имеющую сопротивление.

Переменные в уравнении движения делятся:. Проинтегрируем это соотношение со времени попадания частицы в среду, то есть и до произвольно момента времени :

Теперь мы можем легко выразить зависимость скорости от времени:

(1.2)

Замедление частицы происходит по гиперболическому закону, то есть чем больше значение , тем сильнее частица тормозит.

Для нахождения зависимости пути от времени , подставим в формулу (1.2):

Данное уравнение позволяет с легкостью разделить переменные и сделать интегрирование с момента начала движения и до момента времени

Так, как получаем:

1.3

Таким образом, мы можем наблюдать, что пройденный частицей путь под действием аэродинамической силы со временем неограниченно увеличивается, в отличие от движения под действием силы вязкого трения. Другими словами, аэродинамическое сопротивление довольно таки мало для полной остановки тела. Но нельзя не отметить тот факт, что на начальном этапе сила аэродинамического замедления может быть больше, чем сила вязкого трения, однако, по мере торможения тела, силы вязкого трения постепенно становятся больше аэродинамических сил. Это приводит к неограниченности пройденного пути в рамках зависимости (1.3). Но в большинстве сред аэродинамическое сопротивление уступает место вязким силам сопротивления, которые завершают процесс торможения. [1,4]

В конечном итоге, можно сделать вывод, что интегральные исчисления используются вразличных типах задач, в которых присутствуют переходные процессы или большое количество неизвестных.

Список литературы

Бондаренко В.А., Ханларов С.Т. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах / Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 143-146.

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению / Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция. Редколлегия: В.З. Мазлоев, А.В. Ткач, И.С. Санду, И.Ю. Скляров, Е.И. Костюкова, ответственный за выпуск А.Н. Бобрышев. - 2011. - С. 124-127.

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа / Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука - Северо-Кавказскому региону». - 2012. - С. 280-283.

Гулай Т.А., Колесников К.А., Применение комплексного метода для расчета токов и напряжений в электрической цепи. В сборнике: Аграрная наукаСеверо-Кавказскому Федеральному округу //Сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции. 2016. С. 182-185.

Гулай Т.А., Медведев М.А., Производная в электроэнергетике. В сборнике: Аграрная наука Северо-Кавказскому Федеральному округу//Сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции. 2016. С. 186-189.

Гулай Т.А., Невидомская И.А., Мелешко С.В., Анализ и оценка приоритетности разделов дисциплины «Математический анализ» изучаемой студентами инженерных направлений //European Social Science Journal. 2013. № 8-2 (35). С. 109-115.

Код для цитирования: Скопировать