X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Числовой последовательностью называется такое множество чисел действительных и комплексных, для которых задано взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел. [4,9]

Примеры и обозначения:

Множество чисел: можно рассматривать как числовую последовательность, если пронумеровать элементы этого множества, например

Все множество обозначается: .

В рассмотренном выше примере множество – просто набор цифр «с потолка». В математическом анализе, как правило, работают с такими последовательностями, в которых можно задать общий член последовательности, т.е. закон, по которому, зная номер элемента, можно вычислить сам элемент. [5,10]

Рассмотрим пример:

Пусть известны первые несколько членов последовательности:

Выяснить вид общего члена этой последовательности.

Решение:

Проведем анализ имеющихся элементов:

а) элементы представляют собой дробь, т.е. общий вид будет

б) в числителе всех элементов стоит 1, т.е. общий вид будет

в) знаки чередуются начиная с «+», т.е. общий вид будет

г) в знаменателях стоят степени двойки, начиная с первой, т.е. общий вид

будет

Для точности результата сделаем проверку: Вычислим третий элемент последовательности.

Вывод: Общий вид элементов последовательности :, где ,

Элементы числовой последовательности действительных чисел удобно изображать на числовой прямой, при этом они могут быть расположены на ней хаотично (не подчинено никакому закону или правилу) или упорядоченно. [1,7]

Они могут стремиться к какому-то числу. Т.е. с возрастанием номера элемент становится все ближе и ближе к какому -то числу.

Определение:

Число А называется пределом числовой последовательности если для любого числа существует такой номер N , зависящий от , что, начиная с этого номера все элементы последовательности удалены от А не более чем на (принадлежат -окрестности числа А). И обозначается [2,6]

Замечание:

В математике общепринятыми считаются обозначения:

1) , заменяет словосочетание «для любого».

2) , заменяет слово «существует».

Пример:

Доказать, что пределом последовательности при стремлении n к бесконечности является

Доказательство:

Доказать, что число является пределом последовательности, что означает указать закон, по которому, выбрав произвольное , можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности в окрестности этого числа.

Итак требуется выполнение неравенства

Подставим выражение для общего члена последовательности и значение предела из условия этой задачи

Т.к. (т.е. положительное), то можно раскрыть модуль

Выразим n из полученного неравенства:

Cледующее мы приравняем

Полученное выражение и есть искомый закон, по которому, выбрав произвольное , можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в -окрестности этого числа. [3]

Теперь бoлее подробнее

а) выбираем произвольное .

б) подставляем его в выражение и находим значение N .

в) для любого будет верно неравенство потому, что правая часть неравенства и есть значение, которое присвоено N

г) а неравенство равносильно неравенству (это оно же, только преобразованное), т.е. для любого числа можно указать такой номер N , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на , а значит 1 является пределом последовательности. [8]

Пример:

Известно, что Требуется найти N для:

Решение:

В предыдущем примере была найдена функциональная зависимость между и :

а) , , т.е. , начиная с 10-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,1.

Tо есть начиная с 100-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,01.

в) ,

т.е. , начиная с 1000-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,001.

Вывод: при проведении анализа элементов последовательности мы выяснили общий вид элементов последовательности, и доказали, что для любого числа можно указать такой номер N , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на , а значит 1 является пределом последовательности.

Список литературы

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа / Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука - Северо-Кавказскому региону». - 2012. - С. 280-283.

Бондаренко Д.В., Бражнев С.М., Литвин Д.Б., Варнавский А.А. Метод повышения точности измерения векторных величин // Наука Парк. - 2013. № 6 (16). - С. 66-69.

Гулай Т.А., Литвин Д.Б., Попова С.В., Мелешко С.В. Прогнозирование в регрессионном анализе при построении статистических моделей экономических задач с помощью программы Microsoft excel. // Экономика и предпринимательство. - 2017. № 8-2 (85-2). - С. 688-692.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. // Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие). Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. -2014.- № 8-2. - С. 178-179.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. II Международная научно-практическая конференция. - 2013. - С. 68-71.

Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мамаев И.И. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере. // Вестник АПК Ставрополья. - 2017. № 2 (26). - С. 225-228.

Литвин Д.Б., Шепеть И.П. Моделирование роста производства с учетом инвестиций и выбытием фондов. // В сборнике: социально-экономические и информационные проблемы устойчивого развития региона. Международная научно-практическая конференция. -2015. - С. 114-116.

Литвин Д.Б., Шепеть И.П., Бондарев В.Г., Литвина Е.Д. Применение дифференциального исчисления функций нескольких переменных к разработке алгоритма определения координат объекта. // В сборнике: финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона. Материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции. - 2014. - С. 242-246.

Роговая Н.А., Шайтор А.К., Литвин Д.Б. Качество образования и один из путей его повышения. // В сборнике: инновационные направления развития в образовании, экономике, технике и технологиях. Международная научно-практическая конференция: сборник статей в 2-частях. под общей редакцией В.Е. Жидкова. - 2014. - С. 169-173.

Код для цитирования: Скопировать